Triangle in hindi | त्रिभुज – Ultimate guide

त्रिभुज की परिभाषा (Triangle definition):

एक त्रिभुज एक तीन सीधी भुजाओं वाला बहुभुज (polygon) है जिसमें तीन भुजाएँ, शीर्ष और कोण होते हैं। यह तीन सीधी रेखाओं से बनी एक बंद आकृति है जिसे भुजाएँ कहा जाता है, जो तीन कोणों से जुड़ी होती हैं जिन्हें वर्टिकल कहा जाता है। एक त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।

अब आइए त्रिभुज के मूल तत्वों (elements) को समझते हैं

त्रिकोण के तत्व (Triangle elements)

निम्नलिखित त्रिभुज के विभिन्न भागों की व्याख्या है जो त्रिभुज बनाते हैं।

शीर्ष (vertices): त्रिभुज को बनाने वाले तीन बिंदु शीर्ष कहलाते हैं।

भुजा (sides): एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड हैं।

ऊंचाई (height): त्रिभुज की ऊँचाई एक शीर्ष से रेखा तक खींची गई रेखा खंड हैं। यह त्रिभुज का विपरीत पक्ष, या आधार, और उसके लंबवत है।

कोणों (Angle): त्रिभुज के तीनों कोण भुजाओं द्वारा बनाए गए आंतरिक कोण होते हैं।

• आंतरिक कोण (Interior angle): त्रिभुज के तीन आंतरिक कोण त्रिभुज के भीतर भुजाओं द्वारा बनाए गए कोण होते हैं।
• बाहरी कोण (Exterior angle): त्रिभुज के तीन बाह्य कोण त्रिभुज की भुजाओं को बढ़ाकर और त्रिभुज के बाहर स्थित कोण होते हैं।

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त्रिभुज के गुण (Properties of triangle)

1. त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है। इसे त्रिभुज असमानता के रूप में जाना जाता है।
2. त्रिभुज के बाह्य कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।
3. त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा हमेशा सबसे बड़े कोण के विपरीत होती है, और सबसे छोटी भुजा हमेशा सबसे छोटे कोण के विपरीत होती है। इसे त्रिभुज असमानता प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
4. एक त्रिभुज की भुजाएँ हमेशा उनके विपरीत कोणों की ज्या के समानुपाती होती हैं। इसे ज्या के नियम के रूप में जाना जाता है।

उपरोक्त त्रिभुज के महत्वपूर्ण गुण हैं।

त्रिभुज के प्रकार (Triangle types)

त्रिभुजों को उनकी भुजाओं की लंबाई और उनके कोणों के माप के आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है।

लंबाई के आधार पर त्रिभुजों के प्रकारों को 3 श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है:

• समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle)
• विषमबाहु त्रिकोण (Scalene Triangle)
• समद्विबाहु त्रिकोण (Isosceles Triangle)

कोणों के आधार पर त्रिभुजों के प्रकारों को 3 श्रेणी में वर्गीकृत किया गया है:

• समकोण त्रिभुज (Right Angle Triangle)
• न्यूनकोण त्रिभुज (Acute Angle Triangle)
• अधिक कोण त्रिभुज (Obtuse Angle Triangle)

आइए उपरोक्त छह त्रिभुजों की परिभाषा को समझते हैं।

समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle): एक समबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी तीनों भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं। समबाहु त्रिभुज में सभी आंतरिक कोण बराबर यानी 60 डिग्री होते हैं।

विषमबाहु त्रिकोण (Scalene Triangle): विषमबाहु त्रिभुज एक ऐसा त्रिभुज है जिसकी तीनों भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं। विषमबाहु त्रिभुज के सभी आंतरिक कोण अलग-अलग होते हैं।

समद्विबाहु त्रिकोण (Isosceles Triangle): एक समद्विबाहु त्रिभुज एक त्रिभुज है जिसमें दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं और इन दो समान भुजाओं के विपरीत कोण बराबर होते हैं।

समकोण त्रिभुज (Right Angle Triangle): वह त्रिभुज होता है जिसमें एक कोण समकोण (90 डिग्री) होता है।

न्यूनकोण त्रिभुज (Acute Angle Triangle): वह त्रिभुज होता है जिसके तीनों कोण 90 डिग्री से कम होते हैं।

अधिक कोण त्रिभुज (Obtuse Angle Triangle): वह त्रिभुज होता है जिसका एक कोण 90 डिग्री से अधिक होता है।

त्रिभुज का क्षेत्रफल (Triangle area)

गणित में, “क्षेत्र” शब्द का अर्थ द्वि-आयामी आकार या क्षेत्र के आकार से है। इसे आमतौर पर वर्ग इकाइयों में मापा जाता है, जैसे वर्ग सेंटीमीटर या वर्ग इंच।

त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of triangle), त्रिभुज के आकार का एक माप है। यह त्रिभुज के आधार को त्रिभुज की ऊँचाई से गुणा करके और फिर 2 से विभाजित करके निर्धारित किया जाता है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:

त्रिभुज का क्षेत्रफल = (आधार * ऊँचाई) / 2

जहाँ “आधार” त्रिभुज की एक भुजा की लंबाई है, और “ऊँचाई” आधार से विपरीत शीर्ष तक की लंबवत दूरी है।

त्रिभुज का परिमाप (Perimeter of triangle)

गणित में, द्वि-आयामी आकार की परिधि आकार की बाहरी सीमा की कुल लंबाई होती है। यह आकार के चारों ओर की दूरी का एक उपाय है।

त्रिभुज का परिमाप की गणना त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई को जोड़कर की जा सकती है।

त्रिभुज के परिमाप का सूत्र है:

त्रिभुज का परिमाप = लम्ब, कर्ण और आधार का योग (सभी भुजाओं की लंबाइयों का योग)

उदाहरण:

यदि PQR एक त्रिभुज है, PQ, QR और PR त्रिभुज की भुजाएँ हैं, तो त्रिभुज का परिमाप PQ+QR+PR होगा।

त्रिकोण के केंद्र (Triangle Centers):

एक त्रिभुज के केंद्र विशिष्ट बिंदुओं को संदर्भित करते हैं जो एक त्रिभुज से जुड़े होते हैं। इन बिंदुओं में विशेष गुण होते हैं और अक्सर इनका उपयोग ज्यामिति और गणित के अन्य क्षेत्रों में किया जाता है। यहाँ त्रिभुज के प्रत्येक केंद्र का संक्षिप्त विवरण दिया गया है:

केन्द्रक (Centroid): त्रिभुज का केन्द्रक वह बिंदु होता है जो त्रिभुज की माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है। त्रिभुज की माध्यिकाएँ वे रेखाखंड होते हैं जो त्रिभुज के शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ते हैं। केन्द्रक त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से समान दूरी पर होता है और प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करता है, जिसमें लंबा भाग शीर्ष के करीब होता है। त्रिभुज का निर्माण करते समय या त्रिभुज के गुणों का विश्लेषण करते समय केन्द्रक का उपयोग अक्सर एक संदर्भ बिंदु के रूप में किया जाता है।

लम्बकेन्द्र (Orthocenter): त्रिभुज का लम्बकेन्द्र एक बिंदु है जो त्रिभुज की ऊँचाई के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है। एक त्रिभुज की ऊँचाई लम्ब रेखाएँ होती हैं जो त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से विपरीत दिशा में खींची जाती हैं। लम्बकेन्द्र का उपयोग अक्सर त्रिकोण की ऊंचाई निर्धारित करने और ऊंचाई वाली रेखा के समीकरण को खोजने के लिए किया जाता है।

परिकेंद्र (Circumcenter): त्रिभुज का परिकेंद्र एक बिंदु है जो त्रिभुज की भुजाओं के लंब समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है। त्रिभुज की भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक वे रेखाएँ होती हैं जो एक भुजा के मध्य बिंदु से होकर गुजरती हैं और उस भुजा पर लंबवत होती हैं। परिकेन्द्र त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष से समदूरस्थ होता है और उस वृत्त का केंद्र होता है जो त्रिभुज को परिगत करता है, अर्थात वह वृत्त जो त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है। परिधि का उपयोग अक्सर परिवृत्त की त्रिज्या निर्धारित करने और वृत्त के समीकरण को खोजने के लिए किया जाता है।

अंतःकेंद्र (Incenter): त्रिभुज का अंत:केंद्र वह बिंदु होता है जो त्रिभुज के कोण समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन पर स्थित होता है। त्रिभुज के कोण समद्विभाजक वे रेखाएँ होती हैं जो किसी कोण के शीर्ष से होकर गुजरती हैं और उस कोण को समद्विभाजित करती हैं। अंत:केंद्र त्रिभुज की प्रत्येक भुजा से समान दूरी पर है और उस वृत्त का केंद्र है जो त्रिभुज में खुदा हुआ है, अर्थात वह वृत्त जो त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है। अंत:केंद्र का उपयोग अक्सर अंतःवृत्त की त्रिज्या निर्धारित करने और वृत्त के समीकरण को खोजने के लिए किया जाता है।

त्रिभुज वास्तविक दुनिया अनुप्रयोग (Triangle real world Application):

त्रिकोण ज्यामिति में सबसे बुनियादी और मौलिक आकृतियों में से एक हैं, और विभिन्न क्षेत्रों में उनके कई महत्वपूर्ण उपयोग हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि विभिन्न क्षेत्रों में त्रिभुजों का उपयोग कैसे किया जाता है:

इंजीनियरिंग (Engineering): इंजीनियरिंग में त्रिकोण का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से संरचनात्मक इंजीनियरिंग में। क्योंकि त्रिकोण मजबूत और स्थिर आकार होते हैं, उनका उपयोग अक्सर पुलों, टावरों और इमारतों जैसी संरचनाओं के निर्माण के लिए किया जाता है। इंजीनियर एक संरचना में काम करने वाली ताकतों की गणना करने के लिए और विभिन्न प्रकार के भारों का सामना करने में सक्षम संरचनाओं को डिजाइन करने के लिए भी त्रिकोण का उपयोग करते हैं।

वास्तुकला (Architecture): त्रिभुजों का उपयोग वास्तुकला में, इमारतों के डिजाइन और भवनों के निर्माण दोनों में किया जाता है। आर्किटेक्ट्स अक्सर स्थिर और सौंदर्यपूर्ण रूप से सुखद संरचनाओं को बनाने के लिए त्रिकोण का उपयोग करते हैं, और वे दृश्य रुचि पैदा करने या वांछित रूप या अनुभव प्राप्त करने के लिए त्रिकोण का उपयोग कर सकते हैं।

ज्यामिति (Geometry): त्रिभुज ज्यामिति के अध्ययन के लिए मौलिक हैं, और इस क्षेत्र में उनका कई अलग-अलग तरीकों से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, त्रिकोण का उपयोग ज्यामितीय आकृतियों के गुणों को परिभाषित करने और उनका विश्लेषण करने के लिए किया जाता है, जैसे कि कोण, भुजाएँ और क्षेत्र। त्रिभुजों का उपयोग समानता, सर्वांगसमता और पाइथागोरस प्रमेय की अवधारणाओं को परिभाषित करने और उनका अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है।

अन्य क्षेत्र: भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान और यहां तक ​​कि कला सहित कई अन्य क्षेत्रों में भी त्रिकोण का उपयोग किया जाता है। भौतिकी में, त्रिभुजों का उपयोग बलों और गति के मॉडल और विश्लेषण के लिए किया जाता है। कंप्यूटर विज्ञान में, 3D आकृतियों और वस्तुओं को बनाने और हेरफेर करने के लिए ग्राफिक्स प्रोग्रामिंग में त्रिकोण का उपयोग किया जाता है। कला में, रचनाओं में दृश्य रुचि और संतुलन बनाने के लिए त्रिकोण का उपयोग किया जा सकता है।