गोला

गोला एक ऐसा आकार है, जिसे हम अपनी रोजमर्रा की जिंदगी में हर तरफ देखते हैं जैसे- गेंद। गणित में भी गोले का विशेष व महत्व है, इसलिए गोला की परिभाषा, गुण एवं सूत्रों को समझना बहुत ही आवश्यक है। क्योंकि यह कई क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। जैसे- इंजीनियरिंग, रसायन विज्ञान इत्यादि। 

इस लेख में हम गोले की परिभाषा को विस्तार से समझेंगे। जिसमें गोला का सूत्र, गोला का आयतन, इत्यादि सभी शामिल होगा। आइये लेख को शुरू करें।

गोला किसे कहते हैं? 

गोले को औपचारिक रूप से तीन-आयामी अंतरिक्ष में ऐसे बिंदुओं के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक निश्चित बिंदु से समान दूरी पर स्थित होते हैं। 

इसे आसान भाषा में समझे तो,  गोला एक गोल त्रि-आयामी आकार है, जिसका ना कोई किनारा (edges) होता है और ना ही कोई शीर्ष (Vertices) होता है। गोला के सतह पर जितने भी बिंदु होते हैं वह सब उसके केंद्र से एक समान दूरी पर होते हैं। 

अगर हम अपने आसपास देखें तो हमें बहुत सारी चीज गोलाकार दिखेगा जिसमें, गेंद, मोती इत्यादि चीज शामिल हैं। लेकिन यहां ध्यान देने वाली बात यह है कि धरती पूरी तरह से गोल नहीं है बल्कि वह एक अंडाकार गोल है। 

गोला का गुण

• आप चाहे गोले को किसी भी तरफ घुमाएं, यह हर तरफ से एक जैसा दिखेगा। 
• गोला एक घुमावदार आकृति है, इसलिए इसे बहुफलक नहीं माना जाता।
• गोले की सतह पर मौजूद हर बिंदु, गोले के केंद्र से बिल्कुल समान दूरी पर होता है।
• गोले में केंद्रों की सतह नहीं होती
• गोले की सतह पर हर बिंदु पर वक्रता (curvature) का मान एक समान होता है। यानी गोला हर जगह से समान रूप से घुमावदार है।
• गोले की किसी भी दिशा में मापी गई चौड़ाई (width) और परिधि (circumference) का मान हमेशा समान होता है।

गोला से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण शब्दावली 

गोले को पूरी तरह से समझने के लिए हमें इससे जुड़े कुछ शब्दों को भी जानना आवश्यक है। लिए एक-एक करके इन सभी शब्दों को विस्तार से समझते हैं। 

गोला का केंद्र (Center)- गोले का केंद्र वह बिंदु होता है, जिससे सतह पर सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं। 

गोले की त्रिज्या (Radius) – गोले के केंद्र से उसकी सतह पर किसी भी बिंदु तक की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। और इसे r से दर्शाया जाता है। 

गोले का व्यास (Diameter) – जब आप गोले के अंदर रखी जा सकने वाली सबसे लंबी सीधी रेखा खींचते हैं, तो वह गोले का व्यास होता है। 

यह रेखा गोले के केंद्र से होकर गुजरती है और सतह पर दो विपरीत बिंदुओं को आपस में जोड़ती है। गोले के विकास की लंबाई हमेशा त्रिज्या से दो गुनी होती है और इसे अंग्रेजी के d अक्षर से दर्शाया जाता है। 

गोले की परिधि (Circumference) -गोले से काटे गए सबसे बड़े वृत्त के किनारे की लंबाई गोले की परिधि कहलाती है। गोले की परिधि का चिन्ह अंग्रेजी का अक्षर C होता है। 

गोले का क्षेत्रफल (Surface Area) – गोले की पूरा बाहरी हिस्सा गोले का क्षेत्रफल कहलाता है। इस स्क्वायर यूनिट (Square Units) में मापा जाता है। 

गोले का आयतन (Volume) – गोले के अंदर का पूरा हिस्सा गोले का आयतन होता है। जो कि यह दर्शाता है कि इस गोले में कितना लिक्विड (Liquid) जा सकता है। गोले के आयतन को क्यूब यूनिट (Cube Unit) में मापा जाता है। 

गोला का सूत्र (Sphere Formula)

ऐसे तो गोले के कई सारे सूत्र हैं, लेकिन इसका दो मुख्य सूत्र है जिसका उपयोग मुख्य रूप से किया जाता है। 

गोला का क्षेत्रफल सूत्र 

जैसा कि हमने जाना गोले का क्षेत्रफल वह होता है, जो गोले के पूरे सतह से ढका होता है। इसके लिए निम्नलिखित सूत्र का उपयोग किया जाता है। 

SA = 4πr² Square Units

जहां:

• π (पाई) एक गणितीय स्थिरांक (constant) है, जिसका मान लगभग 3.14 होता है।
• r गोले की त्रिज्या है (मीटर, सेंटीमीटर आदि में)

उदाहरण:

मान लीजिए हमारे पास एक संतरा है और इसकी त्रिज्या (r) 5 सेंटीमीटर है। हमें संतरे के छिलके का कुल क्षेत्रफल (सतह क्षेत्रफल) ज्ञात करना है।

सबसे पहले, हम सूत्र में r का मान 5 रखेंगे:

SA = 4πr²

4πr² = 4 × 3.14 × 5²

4πr² ≈ 314 वर्ग सेंटीमीटर (लगभग)

इसका मतलब है कि संतरे के छिलके का कुल क्षेत्रफल लगभग 314 वर्ग सेंटीमीटर है।

गोला का आयतन सूत्र 

गोला का आयतन गोले के अंदर का पूरा हिस्सा होता है। गोला का आयतन निकालने के लिए नीचे दिए गए फार्मूले का इस्तेमाल किया जा सकता है। 

V = 4/3 πr³

जहां:

• π (पाई) एक गणितीय स्थिरांक (constant) है जिसका मान लगभग 3.14 होता है।
• r गोले की त्रिज्या है (मीटर, सेंटीमीटर आदि में)

उदाहरण:

मान लीजिए हमारे पास एक गेंद है जिसका आकार गोले जैसा है। इसकी त्रिज्या (r) 10 सेंटीमीटर है। हमें गेंद के अंदर जितना पानी समा सकता है, उसकी मात्रा (आयतन) ज्ञात करनी है।

सबसे पहले, हम सूत्र में r का मान 10 रखेंगे:

V = 4/3πr³ 

V = (4/3) × 3.14 × 10³

V = 4188.79 घन सेंटीमीटर (लगभग)

इसका मतलब है कि गेंद के अंदर लगभग 4188.79 घन सेंटीमीटर पानी समा सकता है।

गोला से संबंधित अन्य महत्वपूर्ण सूत्र

गोला का व्यास सूत्र : d = 2r

• गोले की परिधि सूत्र है: C = 2πr
• वृत्तीय काट का क्षेत्रफल: πr², जहाँ r वृत्तीय काट की त्रिज्या है (यह हमेशा क्षेत्र की त्रिज्या के बराबर होती है)
• गोलार्ध का सतह क्षेत्रफल: 3πr²
• गोलार्ध का आयतन: 2/3πr³

गोला से संबंधित कुछ सवाल एवं उनके हल

1. त्रिज्या 7 इकाई वाले गोले का व्यास और परिधि ज्ञात कीजिए।

हल:

दिया गया है, त्रिज्या (r) = 7 इकाई

व्यास (d) = 2 गुना त्रिज्या (r)

d = 2 × 7 इकाई = 14 इकाई

अब, गोले की परिधि (C) निकालने के लिए सूत्र का प्रयोग करेंगे:

परिधि (C) = 2πr

C = 2 × 22/7 × 7 इकाई = 44 इकाई

अतः, 7 इकाई त्रिज्या वाले गोले का व्यास 14 इकाई और परिधि 44 इकाई है।

2. एक गेंद का आयतन 1131 क्यूबिक सेंटीमीटर है। उसकी त्रिज्या कितनी होगी?

हल:

गेंद का आकार गोले जैसा है, इसलिए हम गोले के आयतन का सूत्र इस्तेमाल करेंगे:

V = 4/3πr³

जहाँ r गेंद की त्रिज्या है और V उसका आयतन है।

हमें त्रिज्या (r) निकालनी है, जिसके लिए हमें V का मान 1131 cm³ रखना होगा:

1131 cm³ = 4/3πr³

r³ = (1131 cm³) * (3/4π)

r³ ≈ 270 cm³

r = ³√270 cm³ ≈ 6.3 cm

3. एक गोले का व्यास 20 मीटर है। उसकी परिधि कितनी होगी?

हल:

गोले का व्यास (d) 20 मीटर है, तो उसकी त्रिज्या (r) होगी:

r = d/2 = 20 m / 2 = 10 m

गोले की परिधि (C) निकालने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करेंगे:

C = 2πr

C = 2π * 10 m = 20π m

4. एक गोले का सतह क्षेत्रफल 200 वर्ग सेंटीमीटर है। उसकी त्रिज्या कितनी होगी?

हल:

गोले का सतह क्षेत्रफल (SA) 200 cm² है, तो उसकी त्रिज्या (r) निकालने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करेंगे:

SA = 4πr²

200 cm² = 4πr²

r² = 200 cm² / (4π)

r² ≈ 15.9 cm²

r = √15.9 cm² ≈ 4 cm

5. एक गोले का आयतन 4/3π घन इकाई है। उसकी सतह क्षेत्रफल कितना होगा?

हल:

गोले का आयतन (V) 4/3π घन इकाई है, तो उसकी त्रिज्या (r) निकालने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करेंगे:

V = 4/3πr³

4/3π = 4/3πr³

r³ = 1

r = ³√1 = 1

अब, गोले का सतह क्षेत्रफल (SA) निकालने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करेंगे:

SA = 4πr²

SA = 4π * (1)² = 4π

निष्कर्ष 

आज किस लेख में हमने गोला की परिभाषा को विस्तार से समझा। उम्मीद है कि यह लेख आपको गोला का सूत्र, गोला का आयतन, इत्यादि अवधारणाओं को समझने में मदद करेगा।  यदि आपके लिए यह लेख उपयोगी साबित हुआ हो तो इसे अन्य लोगों के साथ भी जरूर शेयर करें।