समचतुर्भुज
समचतुर्भुज गणित के ज्यामिति विषय की एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। ज्यामिति में, समचतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसकी चारों भुजाएं समान लंबाई की होती हैं। ज्यामिति पाठ के महत्वपूर्ण अवधारणा होने के कारण इससे संबंधित कई तरह के प्रश्न प्रतियोगी परीक्षाओं में एवं अन्य परीक्षाओं में भी पूछे जाते हैं। इसलिए कई छात्र समचतुर्भुज की अवधारणा और समचतुर्भुज की परिभाषा को विस्तार से समझाना चाहते हैं।
इसलिए आज के इस लेख में हम समचतुर्भुज की अवधारणा का गहन अध्ययन करेंगे। जिसमें, समचतुर्भुज की परिभाषा, गुण, क्षेत्रफल, और परिमाप की गणना करना शामिल होगा। आइये लेख को शुरू करें।
समचतुर्भुज की परिभाषा
एक समचतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है, जिसकी चारों भुजाएं समान लंबाई की होती हैं। समचतुर्भुज मीनिंग इन इंग्लिश रोम्बस के नाम से जाना जाता है। अगर इसे परिभाषित किया जाए तो उसकी परिभाषा के अनुसार,
“एक बंद आकृति जिसमें चार भुजाएं होती हैं जहां सभी चार भुजाओं की लंबाई समान होती है एक समचतुर्भुज कहलाती है”।
एक समचतुर्भुज में आमने-सामने वाली भुजाएं एक दूसरे के समान होती हैं, लेकिन इसमें आमने-सामने वाले को के बराबर होना कोई जरूरी नहीं है।
समचतुर्भुज दैनिक जीवन में विभिन्न आकृतियों के आधार पर बनता है, जैसे की पतंग, हीरे के आकार के आभूषण, इत्यादि। अगर हम समचतुर्भुज को उदाहरण से समझे तो,
समचतुर्भुज का चित्र में दिखाया गया आकर एक ABCD समचतुर्भुज है, क्योंकि इसकी सभी चार भुजाएं AB, BC, CD और DA समान लंबाई की है।
अगर आप जल्दी में हैं, तो वीडियो देखें ताकि आप हिंदी में समचतुर्भुज के बारे में अधिक जान सकें।
Rhombus in Hindi Video
समचतुर्भुज के गुण (Properties of Rhombus)
एक समचतुर्भुज कई विशिष्ट गुणों को प्रदर्शित करता है, जो इसे अन्य चतुर्भुजों से अलग करते हैं। आइए, इन गुणों को विस्तार से देखें:
- सभी भुजाएं समान लंबाई की होती हैं: जैसा कि परिभाषा में बताया गया है, समचतुर्भुज की सभी चार भुजाओं की लंबाई एक समान होती है।
- सम्मुख भुजाएं समान्तर होती हैं: समचतुर्भुज में एक दूसरे के सामने वाली भुजाएं (जैसे, AB और CD या AD और BC) परस्पर समान्तर होती हैं। इसका मतलब है कि ये भुजाएं कभी भी एक-दूसरे को नहीं काटतीं और हमेशा एक समान दूरी बनाए रखती हैं।
- सम्मुख कोण बराबर होते हैं: समचतुर्भुज में एक दूसरे के सामने वाले कोणों के माप भी समान होते हैं। (उदाहरण के लिए, यदि कोण A बराबर कोण C है, तो कोण B बराबर कोण D होगा)।
- विकर्ण परस्पर लंबवत काटते हैं: समचतुर्भुज के विकर्ण (अंतः विकर्ण – diagonal) एक दूसरे को समकोण (90°) पर काटते हैं। इसका मतलब है कि वे एक-दूसरे को एक सीधे कोण पर काटते हैं, जिससे चार समकोण त्रिभुज बनते हैं।
समचतुर्भुज के सूत्र (Rhombus Formula)
यहाँ समचतुर्भुज से संबंधित कुछ महत्वपूर्ण सूत्र दिए गए हैं:
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल (Area of Rhombus)
एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए कई तरीके हैं। आइए उन्हें आसान भाषा में समझते हैं:
- विकर्णों का प्रयोग करके क्षेत्रफल:
सबसे आम तरीका समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई का उपयोग करना है।
- सूत्र: क्षेत्रफल = 1/2 * विकर्ण 1 की लंबाई * विकर्ण 2 की लंबाई
- आधार और लंब का प्रयोग करके क्षेत्रफल:
यदि आप समचतुर्भुज के किसी एक आधार (भुजा) की लंबाई और लंब (आधार से शीर्ष तक की लम्बवत दूरी) जानते हैं, तो आप इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
- सूत्र: क्षेत्रफल = आधार की लंबाई * लंब
- त्रिकोणमिति का प्रयोग करके क्षेत्रफल (थोड़ा जटिल):
यह तरीका थोड़ा जटिल है और ज्यादातर ऊपर के दो तरीकों से काम चल जाता है। लेकिन अगर आपको समचतुर्भुज की किसी एक भुजा की लंबाई (आधार) और किसी एक कोण की माप पता है, तो आप इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
- सूत्र: क्षेत्रफल = आधार की लंबाई का वर्ग * Sin (किसी एक कोण की माप)
ध्यान दें:
- d1 और d2 विकर्णों की लंबाई को दर्शाते हैं।
- b किसी भी एक भुजा की लंबाई को दर्शाता है।
- h समचतुर्भुज की लंबाई को दर्शाता है (आधार से शीर्ष तक की लम्बवत दूरी)।
- a समचतुर्भुज के किसी भी एक कोण की माप को दर्शाता है।
समचतुर्भुज का परिमाप (Perimeter of Rhombus)
एक समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
परिमाप = 4 * भुजा की लंबाई
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के तीन तरीके हैं। आइए इन्हें आसान भाषा में उदाहरणों सहित समझते हैं:
तरीका 1: विकर्णों का प्रयोग करके
समचतुर्भुज में दो लंबे तिरछे भुजाएँ होती हैं जिन्हें विकर्ण कहते हैं। इन विकर्णों की लंबाई का उपयोग करके क्षेत्रफल निकाला जा सकता है।
सूत्र: क्षेत्रफल = 1/2 * विकर्ण 1 की लंबाई * विकर्ण 2 की लंबाई
उदाहरण:
मान लीजिए एक समचतुर्भुज की पहली विकर्ण की लंबाई 8 सेमी है और दूसरी विकर्ण की लंबाई 10 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:
क्षेत्रफल = 1/2 * 8 सेमी * 10 सेमी = 40 वर्ग सेमी
इस प्रकार, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 40 वर्ग सेमी होगा।
तरीका 2: आधार और लंब का प्रयोग करके
यह तरीका आयत के क्षेत्रफल निकालने के तरीके जैसा ही है। समचतुर्भुज की एक भुजा को आधार (b) माना जाता है। आधार के लंबवत ऊपर की ओर खींची गई रेखा को लंब (h) कहते हैं।
सूत्र: क्षेत्रफल = आधार की लंबाई * लंब की लंबाई
ध्यान दें: समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, इसलिए आप किसी भी भुजा को आधार के रूप में ले सकते हैं।
उदाहरण:
मान लीजिए एक समचतुर्भुज की एक भुजा की लंबाई (आधार) 6 सेमी है और लंब की लंबाई 5 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:
क्षेत्रफल = 6 सेमी * 5 सेमी = 30 वर्ग सेमी
इस प्रकार, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी होगा।
तरीका 3: त्रिकोणमिति का प्रयोग करके (ज्यादा जटिल)
यह तरीका थोड़ा जटिल है और ज्यादातर ऊँचे स्तर की गणित में उपयोग किया जाता है। इसमें समचतुर्भुज के किसी एक कोण (a) की माप और एक भुजा (b) की लंबाई का उपयोग किया जाता है।
सूत्र: क्षेत्रफल = भुजा की लंबाई का वर्ग * Sin(कोण a)
उदाहरण:
मान लीजिए एक समचतुर्भुज की एक भुजा की लंबाई 2 सेमी है और उसके एक कोण (A) की माप 30 डिग्री है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
- दी गई भुजा की लंबाई (b) = 2 सेमी
- कोण (a) = 30 डिग्री
- सबसे पहले, भुजा की लंबाई का वर्ग निकालें: b² = 2 सेमी × 2 सेमी = 4 वर्ग सेमी
- अब, वर्ग को Sin(कोण a) से गुणा करें: 4 वर्ग सेमी × Sin(30°)
- Sin(30°) का मान 1/2 होता है, इसलिए 4 वर्ग सेमी × 1/2 = 2 वर्ग सेमी
अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 2 वर्ग सेमी होगा।
समचतुर्भुज का परिमाप कैसे निकले? (Perimeter of Rhombus)
एक समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
परिमाप = 4 * भुजा की लंबाई
उदाहरण:
मान लीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजा की लंबाई 5 सेमी है। इसका परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:
परिमाप = 4 * 5 सेमी = 20 सेमी
इस प्रकार, समचतुर्भुज का परिमाप 20 सेमी होगा।
समचतुर्भुज के विकर्ण (Diagonals of Rhombus)
जैसा कि ऊपर बताया गया है, एक समचतुर्भुज के विकर्ण में निम्नलिखित विशेषताएं होती हैं:
- विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
- विकर्ण 90 डिग्री के कोण पर एक दूसरे को काटते हैं।
- विकर्णों द्वारा बनाए गए त्रिभुज समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।
समचतुर्भुज की समस्याएँ (हल सहित)
आइए अब समचतुर्भुज से जुड़ी कुछ अभ्यास समस्याओं को हल करके इसकी अवधारणा को और मजबूत बनाते हैं:
समस्या 1:एक समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई 8 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: चूँकि हमारे पास विकर्णों की लंबाई नहीं है, हम आधार और लंब का उपयोग करके क्षेत्रफल निकाल सकते हैं।
चूँकि सभी भुजाएँ समान हैं, तो हम किसी भी भुजा को आधार मान सकते हैं।
मान लीजिए आधार की लंबाई (b) = 8 सेमी
हालांकि, हमारे पास लंब की लंबाई (h) नहीं दी गई है। समचतुर्भुज के क्षेत्रफल को निकालने के लिए हमें इसकी आवश्यकता होगी।
यदि आप समचतुर्भुज का आरेख बनाते हैं, तो आप देख सकते हैं कि इसे दो लंबवत रेखाओं द्वारा चार समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।
आधार के ठीक बीच से एक लंब खींचने पर वह दूसरी भुजा को समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष बिंदु पर काटती है। इस लंब की लंबाई ही समचतुर्भुज की लंब (h) होगी।
इस स्थिति में, लंब (h) भी आधार (b) के बराबर होगी, अर्थात 8 सेमी।
अब सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल निकाल सकते हैं:
क्षेत्रफल = आधार की लंबाई * लंब की लंबाई = 8 सेमी * 8 सेमी = 64 वर्ग सेमी
अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 64 वर्ग सेमी होगा।
समस्या 2: एक समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई 10 सेमी और 16 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल: इसमें विकर्णों की लंबाई दी गई है, इसलिए हम क्षेत्रफल निकालने के लिए पहले तरीके का उपयोग कर सकते हैं।
सूत्र: क्षेत्रफल = 1/2 * विकर्ण 1 की लंबाई * विकर्ण 2 की लंबाई
क्षेत्रफल = 1/2 * 10 सेमी * 16 सेमी = 80 वर्ग सेमी
अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 80 वर्ग सेमी होगा।
समस्या 3 : एक समचतुर्भुज की एक भुजा की लंबाई 4 सेमी है और उसके एक कोण (A) की माप 60 डिग्री है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (यह तरीका त्रिकोणमिति का उपयोग करता है)
हल:
इस समस्या में हमें सिर्फ एक भुजा की लंबाई और एक कोण की माप दी गई है। क्षेत्रफल निकालने के लिए त्रिकोणमिति वाले सूत्र का उपयोग करेंगे।
सूत्र: क्षेत्रफल = भुजा की लंबाई का वर्ग * Sin(कोण a)
- सबसे पहले, भुजा की लंबाई का वर्ग निकालें: 4 सेमी × 4 सेमी = 16 वर्ग सेमी
- अब, वर्ग को Sin(कोण a) से गुणा करें: 16 वर्ग सेमी × Sin(60°)
ध्यान दें: Sin(60°) का मान √3/2 होता है।
16 वर्ग सेमी × √3/2 (यह गुणा करते समय आप कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं)
अतः, समचतुर्भुज का क्षेत्रफल लगभग 13.86 वर्ग सेमी होगा।
निष्कर्ष
आज के इस लेख में हमने समचतुर्भुज की अवधारणा को विस्तार पूर्वक समझा। साथ ही हमने समचतुर्भुज की परिभाषा, समचतुर्भुज का सूत्र, समचतुर्भुज के विकर्ण का फार्मूला, इत्यादि के बारे में जाना।
यदि आपको समचतुर्भुज विषय पर अन्य कोई जानकारी की आवश्यकता है तो आप हमें कमेंट करके पूछ सकते हैं।
