बेलन

बेलन, जिसे इंग्लिश में Cylinder कहा जाता है, का गणित की दुनिया में विशेष महत्व है। यह एक ऐसा महत्वपूर्णआकार है जिसे हर छात्रों को समझना जरूरी है। भले ही वह किसी कक्षा में पढ़ रहे हो या किसी प्रतियोगी परीक्षा की तैयारी कर रहे हो। बेलन की परिभाषा एवं अवधारणा के माध्यम से हम इसे गहराई से जान सकते हैं। 

इसलिए आज के इस लेख में हम गणित में बेलन की परिभाषा को विस्तार पूर्वक जानेंगे। साथ ही हम बेलन का सूत्र, बेलन का चित्र, इत्यादि सभी विषयों पर चर्चा करेंगे। आइये लेख को शुरू करें। 

बेलन की परिभाषा 

ज्यामिति में बेलन एक त्रि आयामी जाकर है जिसमें दो वृत्त के आकार के सिरा होते हैं। और यह दोनों सिरा समांतर होते हैं। इन दोनों वृत्त के आकार के सिरों को आधार कहा जाता है। 

यह दोनों सिरे आमने-सामने होते हैं और उनके किनारो को जोड़ने वाली रेखा सीधी होती है। इसलिए इस सीधी रेखा को लंबाई या ऊंचाई कहा जाता है। 

वहीं हर आकार में एक भुजा भी होती है तो बेलन की भुजा इसके आधारों के किनारो के बीच की घुमावदार सहत को कहते हैं। 

बेलन से जुड़े महत्वपूर्ण शब्द

बेलन से संबंधित कुछ ऐसे महत्वपूर्ण शब्द भी है, जिनका जानना आपके लिए जरूरी है। ताकि आप Cylinder को और भी बेहतर तरीके से समझ सके। 

फलक (Faces):  एक बेलन में कुल तीन फलक होते हैं, जिसमें दो चपटे गोलाकार फलक और एक घुमावदार फलक शामिल होता है। 

किनारे (Edeges): Cylinder में दो किनारे होते हैं एक ऊपर और एक नीचे। 

शीर्ष (Verdicts): Cylinder में जीरो सिर्फ होते हैं क्योंकि Cylinder में जो दो किनारे हैं वह कभी भी आपस में नहीं मिलते। 

त्रिज्या (Radious): बेलन में दो त्रिज्या हो सकती है क्योंकि इसमें दो आधार शामिल होते हैं। आधार वृत्त के केंद्र से किसी भी बिंदु तक की दूरी बेलन की त्रिज्या कहलाती है। 

व्यास (Diameter): हम सभी जानते हैं कि व्यास त्रिज्या से दो गुना होता है और आधार वृत्त के विपरीत दो बिंदुओं के बीच की दूरी ही व्यास कहलाती है। 

ऊंचाई (Height): एक आधार से दूसरे आधार को जो रेखा मिलती है तो वह लंबवत दूरी ही ऊंचाई कहलाती है। 

बेलन के गुण 

• बेलन का गुण सभी छात्रों के लिए महत्वपूर्ण साबित हो सकता है क्योंकि इसके माध्यम से छात्र Cylinder Problem को आसानी से Solve कर सकते हैं और बेलन की आकृति को आसानी से पहचान भी सकते हैं। 

• हर बेलन में दो एक जैसे वृत्ताकार आधार (circular faces) होते हैं और उनके बीच में एक घुमावदार सतह होती है जिसे भुजा (lateral surface) कहते हैं।

• बेलन का आयतन (volume) और क्षेत्रफल (area) उसके आधार की त्रिज्या (radius) और ऊँचाई (height) से निर्धारित होता है। याद रखें, ऊँचाई एक आधार से दूसरे आधार के बीच की लंबवत दूरी होती है।

• शंकु (cone), घन (cube), या लंबवृत्तीय आधार वाले ठोस (cuboid) के विपरीत, एक बेलन में शीर्ष (vertex) नहीं होता है। इसका मतलब है कि किसी भी बेलन में कोई विशिष्ट कोना नहीं होता है।

बेलन का सूत्र 

बेलन से संबंधित कई महत्वपूर्ण सूत्र शामिल है जैसे बेलन का आयतन, बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल, बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल। लिए हम इन तीनों सूत्रों को उदाहरण के माध्यम से समझते हैं। 

बेलन का आयतन का सूत्र (Volume of a Cylinder)

आयतन किसी आकार में समाए जाने वाली त्रि-आयामी अंतरिक्ष की मात्रा को दर्शाता है। बेलन का आयतन निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

आयतन (V) = πr²h

जहाँ:

• π (पाई) एक गणितीय नियतांक है जिसका मान लगभग 3.14159 होता है।
• r बेलन की त्रिज्या है।
• h बेलन की ऊँचाई है।

उदाहरण: बेलन का आयतन ज्ञात करना

मान लीजिये, आपके पास एक बेलनाकार डिब्बा है जिसकी त्रिज्या 5 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। आप इस डिब्बे में कितना द्रव (liquid) समा सकता है, यह जानना चाहते हैं।

• दिया गया है: r = 5 सेमी और h = 10 सेमी
• आयतन (V) = πr²h = 3.14159 * 5² * 10 ≈ 785.39 घन सेमी (cubic cm)

इस डिब्बे में लगभग 785.39 घन सेमी द्रव समा सकता है।

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र (Curved Surface Area of a Cylinder)

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन की घुमावदार सतह का क्षेत्रफल है। बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πrh

जहाँ:

• π (पाई) एक गणितीय नियतांक है जिसका मान लगभग 3.14159 होता है।
• r बेलन की त्रिज्या है।
• h बेलन की ऊँचाई है।

उदाहरण: बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना

आपके पास एक डिब्बे का लेबल है जिसे आप बेलनाकार डिब्बे पर चिपकाना चाहते हैं। लेबल को ढकने के लिए कितने वर्ग सेंटीमीटर (sq cm) का कागज चाहिए, यह जानना चाहते हैं। (ध्यान दें कि लेबल केवल बेलन की घुमावदार सतह को ढकेगा, न कि आधारों को।)

हल (Solution):

• दिया गया है: r = 5 सेमी और h = 10 सेमी
• वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πrh = 2 * 3.141

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र (Total Surface Area of a Cylinder)

बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन के सभी सतहों (दो आधारों और घुमावदार सतह) का क्षेत्रफल है। बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल निम्न सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2πr(r + h)

जहाँ:

• π (पाई) एक गणितीय नियतांक है जिसका मान लगभग 3.14159 होता है।
• r बेलन की त्रिज्या है।
• h बेलन की ऊँचाई है।

उदाहरण: बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना

आप एक बेलनाकार टैंक को रंगना चाहते हैं। टैंक को पेंट करने के लिए आपको कितने वर्ग मीटर (sq m) पेंट की आवश्यकता होगी, यह जानना चाहते हैं। (ध्यान दें कि आपको टैंक के अंदर भी पेंट करना होगा।)

हल (Solution):

• दिया गया है: r = 3 मीटर और h = 5 मीटर
• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2πr(r + h) = 2 * 3.14159 * 3 * (3 + 5) ≈ 141.37 वर्ग मीटर (sq m)

अतः, आपको टैंक को पेंट करने के लिए लगभग 141.37 वर्ग मीटर पेंट की आवश्यकता होगी।

बेलन से संबंधित सवाल एवं उनके हल

1. एक बेलनाकार टैंक की ऊँचाई 10 मीटर और त्रिज्या 3 मीटर है। यदि इसमें पानी भरा जाता है, तो टैंक में कितने घन मीटर पानी समायोजित हो सकता है?

हल:

बेलन का आयतन (Volume) = πr²h

= 3.14159 * 3² * 10

= 282.712 घन मीटर

2. एक डिब्बे का व्यास 14 सेमी और ऊँचाई 20 सेमी है। डिब्बे को रंगने के लिए कितने वर्ग सेंटीमीटर पेंट की आवश्यकता होगी?

हल:

पहले त्रिज्या (radius) ज्ञात करना होगा:

त्रिज्या (r) = व्यास (d) / 2

= 14 सेमी / 2

= 7 सेमी

अब, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) ज्ञात करते हैं:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2πr(r + h)

= 2 * 3.14159 * 7 * (7 + 20)

= 879.64 वर्ग सेंटीमीटर

3. एक बेलनाकार पाइप का व्यास 2.8 सेमी और ऊँचाई 40 सेमी है। यदि पाइप को पानी से पूरी तरह भर दिया जाए, तो उसमें कितने मिलीलीटर पानी होगा?

हल:

पहले त्रिज्या (radius) ज्ञात करना होगा:

त्रिज्या (r) = व्यास (d) / 2

= 2.8 सेमी / 2

= 1.4 सेमी

अब, आयतन (Volume) ज्ञात करते हैं:

आयतन (V) = πr²h

= 3.14159 * 1.4² * 40

= 197.92 घन सेमी

चूंकि 1 घन सेमी = 1 मिलीलीटर, तो पाइप में 197.92 मिलीलीटर पानी होगा।

4. एक बेलनाकार टिन का वजन 300 ग्राम है। यदि टिन की ऊँचाई 15 सेमी और त्रिज्या 5 सेमी है, तो टिन का घनत्व क्या होगा?

हल:

पहले टिन का आयतन (Volume) ज्ञात करते हैं:

आयतन (V) = πr²h

= 3.14159 * 5² * 15

= 1178.71 घन सेमी

अब, घनत्व (Density) ज्ञात करते हैं:

घनत्व (Density) = द्रव्यमान (Mass) / आयतन (Volume)

= 300 ग्राम / 1178.71 घन सेमी

= 0.254 ग्राम/घन सेमी

5. एक बेलनाकार टैंक का आधार 10 वर्ग मीटर क्षेत्रफल का है। यदि टैंक की ऊँचाई 8 मीटर है, तो टैंक की दीवारों और आधारों को पेंट करने के लिए कितने वर्ग मीटर पेंट की आवश्यकता होगी?

हल:

पहले आधार की त्रिज्या (radius) ज्ञात करते हैं:

क्षेत्रफल (Area) = πr²

10 वर्ग मीटर = 3.14159 * r²

r² = 10 वर्ग मीटर / 3.14159

r ≈ 1.78 मीटर

अब, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area) ज्ञात करते हैं:

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2πr(r + h)

= 2 * 3.14159 * 1.78 * (1.78 + 8)

= 82.95 वर्ग मीटर

नोट: यह मानते हुए कि आधारों को भी पेंट किया जाना चाहिए, हमें कुल क्षेत्रफल प्राप्त करने के लिए आधारों के क्षेत्रफल को दो बार जोड़ना होगा।

कुल क्षेत्रफल = 82.95 वर्ग मीटर + (2 * 10 वर्ग मीटर)

= 102.95 वर्ग मीटर

इसलिए, टैंक की दीवारों और आधारों को पेंट करने के लिए 102.95 वर्ग मीटर पेंट की आवश्यकता होगी।

निष्कर्ष 

आज के इस लेख में हमने बेलन की परिभाषा एवं अवधारणा को विस्तार से समझ। साथ ही हमने बेलन का आयतन का फार्मूला बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल इत्यादि से संबंधित सूत्रों को भी जाना। अगर आपके लिए बेलन से संबंधित या लेख उपयोगी साबित हुआ हो तो इसे अपने अन्य दोस्तों के साथ भी जरूर शेयर करें।