घनाभ

घनाभ जिसे इंग्लिश में क्यूबाइड (Cuboid) कहते हैं, गणित के ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह एक थ्री-डाइमेंशनल (Three-dimensional)  आकृति होती है, जिसे आप हर जगह देखते हैं। जैसे- किताब, टीवी, इत्यादि। घनाभ को और भी सही ढंग से समझने के लिए हमें घनाभ की परिभाषा एवं इसके गुण के बारे में जानना होगा। 

इसलिए आज के इस लेख में हम घनाभ की परिभाषा, घनाभ के गुण, घनाभ का आयतन, घनाभ के सूत्र, इत्यादि सभी चीजों के बारे में विस्तार पूर्वक जानकारी प्राप्त करेंगे। 

घनाभ की परिभाषा 

जैसा कि हमने आपको बताया घनाभ एक त्रि- आयामी यानी (Three-dimensional) की आकृति होती है जिसका एक ठोस आकार होता है और इसमें 6 फलक होते हैं। इसके सभी फलक का आकार आयताकार होता है। 

जैसे, ईट, किताब, डिब्बा, इत्यादि सभी चीज घनाभ का एक उदाहरण है। घनाभ की परिभाषा के अनुसार, “एक ऐसा त्रि-आयामी ठोस आकार जिसके 6 फलक हो और प्रत्येक फलक आकार में आयताकार हो घनाभ कहलाता है”। 

यह एक ऐसी त्रि-आयामी आकृति होती है, जिसकी लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई समान नहीं होती है। घनाभ में किनारो की संख्या 12 होती है, जो इन्हीं 6 फलकों से मिलकर बनी होती हैं। 

यह किनारे एक दूसरे के लंबवत होते हैं यानी कि वह आपस में 90 डिग्री का को बनाते हैं। घनाभ के विपरीत फलक एक दूसरे के बराबर और समांतर होते हैं। 

घनाभ की आकृति 

लिए हम घनाभ के चित्र के माध्यम से इसकी आकृति को समझते हैं। घनाभ एक डिब्बे के आकार का होता है जिसमें 6 फलक 12 किनारे और आठ शीर्ष होते हैं। 

Image source – Byjus

अगर हम इन्हें आसान शब्दों में समझे तो, 

फलक (Faces)

घनाभ 6 समतल आयताकार सहत से मिलकर बना होता है। और ऐसे हम उसका फलक कहते हैं। यानी की किसी डिब्बे की सपाट जगह को जिसे आप छू सकते हैं, वही उसे डिब्बे का फलक होता है। 

जैसा की आप घनाभ का चित्र में देख सकते हैं कि हमने आपको अक्षरों के माध्यम से फलक को समझाया है। 

• ऊपर का फलक: ABCD
• नीचे का फलक: EFGH
• सामने का फलक: ABFE
• पीछे का फलक: DCGH
• दायाँ वाला फलक: CBFG
• बायाँ वाला फलक: DAEH

यहां पर घनाभ में एक और समझने वाली बात यह है कि एक दूसरे के विपरीत दिशा के फलक एक दूसरे के बराबर और समांतर होते हैं। 

उदाहरण के लिए, ऊपर का फलक सबसे नीचे के फलक के समांतर होगा इसी तरह सामने के फलक उसके पीछे के फलक के बराबर होगा। 

किनारे (Edges)

अब घनाभ में अच्छे फलक को मिलते समय जो रेखा खींची जाती है वह रेखा किनारी कहलाती है। इस तरह जहां दो फलक मिलते हैं वहां एक किनारा बनता है और उसे एक किनारा गिना जाता है। 

तो इस तरह कुल मिलाकर घनाभ में किनारो की संख्या 12 होती है। उदाहरण के लिए, 

AB = CD = GH = EF

AE = DH = BF = CG

EH = FG = AD = BC

शीर्ष (Vertices)

जब तीन किनारे एक बिंदु पर मिलते हैं तो उसे घनाभ का शीर्ष कहा जाता है। जहां तीन किनारे एक दूसरे को काटते हैं वही उसे घनाभ का एक शीर्ष कहलाएगा। तो इस तरह से डिब्बे के कोणों को ही हम सिर्फ कह सकते हैं। तो इस तरह से घनाभ में शीर्षों की संख्या कुल आठ होती है। 

जैसा कि आप घनाभ के चित्र में देख सकते हैं यहां पर A, B, C, D, E, F, G, H से दर्शाये गए बिंदु इसके शीर्ष हैं। 

घनाभ के गुण 

• इसके छह फलक होते हैं, और प्रत्येक फलक आकार में आयताकार होता है।
• सम्मुख (opposite) फलक एक दूसरे के समान और समांतर होते हैं।
• इसके 12 किनारे होते हैं, जिनमें से प्रत्येक किनारा किसी न किसी फलक से मिलता है।
• इसके 8 शीर्ष (vertices) होते हैं, जहाँ किन्हीं भी तीन किनारों का मिलन होता है।
• विपरीत किनारे समान लंबाई के होते हैं।
• इसके सभी कोण या तो 90 डिग्री के समकोण (right angles) होते हैं या फिर पूरक कोण (complementary angles) होते हैं, जो आपस में मिलकर 90 डिग्री बनाते हैं।

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area of Cuboid)

केवल घनाभ की ही नहीं बल्कि किसी भी त्रि- आयामी आकृति का पृष्ठीय क्षेत्रफल वह  होता है जो उसके सभी सतहों से ढका हुआ होता है। 

यानी की अगर आपको घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालना है तो आप उसे घनाभ के सभी 6 फलक के क्षेत्रफल को जोड़ेंगे।

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने के लिए हम नीचे दिए गए फॉर्मूला का उपयोग कर सकते हैं।

सूत्र:

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl)

जहाँ:

l = लंबाई (Length)

b = चौड़ाई (Breadth)

h = ऊँचाई (Height)

उदाहरण:

मान लीजिए कि एक घनाभ की लंबाई 5 सेमी, चौड़ाई 3 सेमी, और ऊँचाई 4 सेमी है।

इस घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(5 × 3 + 3 × 4 + 5 × 4)

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(15 + 12 + 20)

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 × 47

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 94 वर्ग सेमी

घनाभ का आयतन (Volume of Cuboid)

घनाभ यानी किसी डब्बे के अंदर जो भी स्थान होता है उसी को हम आयतन कहते हैं। तो इस तरह घनाभ के अंदर का कुल स्थान घनाभ का आयतन कहलाएगा। 

घनाभ का आयतन फॉर्मूला नीचे दिया गया है। 

सूत्र:

आयतन = l × b × h

जहाँ:

• l = लंबाई (Length)
• b = चौड़ाई (Breadth)
• h = ऊँचाई (Height)

उदाहरण:

मान लीजिए कि एक घनाभ की लंबाई 5 सेमी, चौड़ाई 3 सेमी, और ऊँचाई 4 सेमी है।

इस घनाभ का आयतन ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करेंगे:

आयतन = 5 × 3 × 4

आयतन = 60 घन सेमी

घनाभ का विकर्ण (Diagonal of Cuboid)

जब किसी डब्बे के एक शीर्ष से उसके विपरीत दिशा के शीर्ष तक जो रेखा खींची जाती है, वह घनाभ का विकर्ण कहलाती है। 

घनाभ के विकर्ण का फार्मूला नीचे दिया गया है जिसके माध्यम से आप घनाभ का विकर्ण निकाल सकते हैं। इसे हम विकर्ण का वर्गमूल भी कह सकते हैं। 

सूत्र: विकर्ण की लंबाई = √(l² + b² + h²)

जहाँ:

• √ – वर्गमूल (square root) का चिन्ह
• l – लंबाई
• b – चौड़ाई
• h – ऊँचाई

यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) पर आधारित है।

उदाहरण

मान लीजिए एक घनाभ की लंबाई 5 सेमी, चौड़ाई 3 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। हमें इस घनाभ के विकर्ण की लंबाई ज्ञात करनी है।

सबसे पहले, हमें दिए गए मानों को सूत्र में रखना होगा:

विकर्ण की लंबाई = √(5² + 3² + 4²)

विकर्ण की लंबाई = √(25 + 9 + 16)

विकर्ण की लंबाई = √(50)

विकर्ण की लंबाई ≈ 7.07 सेमी (वर्गमूल का दशमलव मान निकालने पर)

घनाभ से संबंधित कुछ अन्य महत्वपूर्ण सूत्र 

1. विकर्ण का लंबवत दूरी: d = √(l² + b²) / √2

2. घनाभ के समस्त पृष्ठों का क्षेत्रफल = 2(l x b + b x h + h x l)

3. घनाभ का परिमाप = 2(l + b) × h

घनाभ से संबंधित सवाल एवं उनके हल

1. एक घनाभ की लंबाई 12 सेमी, चौड़ाई 8 सेमी और ऊँचाई 5 सेमी है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

• पृष्ठीय क्षेत्रफल:
  • 2(lb + bh + hl) = 2(12 × 8 + 8 × 5 + 12 × 5)
  • = 2(96 + 40 + 60)
  • = 2 × 196
  • = 392 वर्ग सेमी
• आयतन:
  • l × b × h = 12 × 8 × 5
  • = 480 घन सेमी

2. एक घनाभ का विकर्ण 15 सेमी है। यदि इसकी लंबाई और चौड़ाई 6 सेमी और 4 सेमी हैं, तो इसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

• विकर्ण की लंबाई का सूत्र: √(l² + b² + h²) = 15
• l² + b² + h² = 15²
• 6² + 4² + h² = 225
• h² = 225 – 6² – 4²
• h² = 145
• h = √145
• h ≈ 12.04 सेमी

3. एक घनाभ का आयतन 216 घन सेमी है। यदि इसकी लंबाई 6 सेमी और चौड़ाई 4 सेमी है, तो इसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

• आयतन का सूत्र: l × b × h = 216
• h = 216 / (l × b)
• h = 216 / (6 × 4)
• h = 9 सेमी

4. एक घनाभ का भार 3 किलो है। यदि इसका घनत्व 2 g/cm³ है, तो उसका आयतन ज्ञात कीजिए।

हल:

• भार का सूत्र: भार = घनत्व × आयतन
• 3 किलो = 2 g/cm³ × आयतन
• 3000 g = 2 g/cm³ × आयतन
• आयतन = 3000 g / 2 g/cm³
• आयतन = 1500 cm³

निष्कर्ष 

आज किस लेख में हमने जाना की घनाभ किसे कहते हैं? साथ ही हमने घनाभ की परिभाषा चित्र सहित समझी। इसके अलावा हमने घनाभ के कई सूत्रों के बारे में भी जानकारी प्राप्त की। उम्मीद है कि यह लेख आपको घनाभ की अवधारणा समझने में मदद करेगा। यदि आपके लिए यह लेख उपयोगी रहा हो तो इसे अपने अन्य दोस्तों के साथ भी शेयर करें।