वृत्त
वृत्त गणित की दुनिया में सबसे सामान्य आकृतियों में से एक है। वृत्त एक ऐसी अवधारणा है, जिसके बारे में विस्तार से समझना बहुत ही जरूरी है क्योंकि यह हमारे दैनिक जीवन में भी हमेशा इस्तेमाल किया जाता है। कई छात्र वृत्त की परिभाषा एवं वृत्त के सूत्र को समझना चाहते हैं।
इसलिए आज के इस लेख में हम विस्तार से वृत्त की परिभाषा चित्र सहित जानेंगे। साथ ही हम वृत्त का व्यास, वृत्त का क्षेत्रफल वृत्त की परिधि इत्यादि से संबंधित भी विस्तार पूर्वक जानकारी प्राप्त करेंगे। आइये लेख को शुरू करें।
वृत्त की परिभाषा
इसकी परिभाषा के अनुसार, “वृत्त एक निश्चित बिंदु से एक निश्चित दूरी पर सभी बिंदुओं का संग्रह है”। वृत्त एक बंद समतल आकृति है। इसमें समतल के सभी बिंदु एक विशेष बिंदु जिसे केंद्र कहते हैं से समान दूरी पर होते हैं।
वृत्त को उदाहरण के माध्यम से समझे तो,
मान लीजिए कि आप किसी समतल जगह पर एक पिन चुभोते हैं और उसमें एक तना हुआ धागा बांधते हैं। अब यदि आप धागे को पिन के चारों ओर घूमते हुए खींचते हैं तो धागे द्वारा बनाया गया रास्ता वृत्त कहलाएगा।
पिन का वह बिंदु जहां से धागा जुड़ा हुआ है, वह वृत्त का केंद्र होता है।
वृत्त से जुड़ी महत्वपूर्ण शब्दावली
अगर आप वृत्त को समझना चाहते हैं तो इससे संबंधित कुछ शब्दों के बारे में भी जानना आवश्यक है, जो कि इस प्रकार है -:
1. केंद्र (Center): वृत्त का वह बिंदु जो वृत्त पर स्थित सभी बिंदुओं से समान दूरी पर होता है, वृत का केंद्र कहलाता है।
2. त्रिज्या (Radius): केंद्र और वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु को जोड़ने वाले रेखाखंड को वृत की त्रिज्या कहते हैं।
3. व्यास (Diameter): वृत्त से होकर गुजरने वाली और केंद्र से होकर जाने वाली सबसे बड़ी रेखाखंड को व्यास कहते हैं। यह त्रिज्या का दोगुना होता है।
4. जीवा (Chord): वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाखंड को जीवा कहते हैं।
5. स्पर्शरेखा (Tangent): वृत्त को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करने वाली रेखा को स्पर्शरेखा कहते हैं। स्पर्श बिंदु पर स्पर्शरेखा और वृत्त की त्रिज्या लम्बवत होती है।
6. वृत्तांश (Sector): वृत्त के एक भाग को, जो दो त्रिज्याओं और उनके बीच के जीवा द्वारा घिरा होता है, वृत्तांश कहते हैं।
7. वृत्तखंड (Segment): वृत्त के एक भाग को, जो दो त्रिज्याओं और उनके बीच के जीवा द्वारा घिरा होता है, वृत्तखंड कहते हैं।
8. वृत्तीय कोण (Central Angle): केंद्र से उत्पन्न होने वाले दो किरणों द्वारा बनाए गए कोण को वृत्तीय कोण कहते हैं।
9. परिधि (Circumference): वृत्त की पूरी लंबाई को परिधि कहते हैं।
10. वृत्तीय क्षेत्रफल (Area of a Circle): वृत्त द्वारा घेरे गए समतल क्षेत्र को वृत्तीय क्षेत्रफल कहते हैं।
11. वृत्तीय चाप (Circular Arc): वृत्त के परिधि का एक भाग को वृत्तीय चाप कहते हैं।
12. वृत्तीय चाप का क्षेत्रफल (Area of a Circular Arc): वृत्तीय चाप द्वारा घेरे गए समतल क्षेत्र को वृत्तीय चाप का क्षेत्रफल कहते हैं।
13. वृत्तीय कोण का माप (Measure of a Central Angle): वृत्तीय कोण का माप 360° में उस वृत्तांश का अंश होता है जो उस कोण द्वारा घिरा होता है।
14. वृत्तीय चाप का माप (Measure of a Circular Arc): वृत्तीय चाप का माप 360° में उस वृत्तांश का अंश होता है जो उस चाप द्वारा घिरा होता है।
15. वृत्तीय रेखा (Circular Line): वृत्त के समतल में स्थित कोई भी रेखा जो वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, वृत्तीय रेखा कहलाती है।
वृत्त की प्रमुख विशेषताएं
वृत्त की कुछ खास विशेषताएं होती हैं, जो इसे अन्य ज्यामितीय आकृतियों से अलग बनाती हैं:
समान दूरी: वृत्त के परिधि पर स्थित सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं।
समरूपता: वृत्त में केंद्र के संबंध में समरूपता होती है। इसका मतलब है कि केंद्र से गुजरने वाली कोई भी रेखा वृत्त को दो सममित भागों में विभाजित कर देती है।
परिवृत्त: वृत्त को उसके केंद्र के सापेक्ष किसी भी कोण से घुमाने पर भी उसका आकार नहीं बदलता है।
अधिकतम क्षेत्रफल: एक ही परिधि वाली किसी भी आकृति में, वृत्त का क्षेत्रफल सबसे अधिक होता है।
वृत्त निकालने का सूत्र
वृत्त से संबंधित दो सूत्र हैं जिनमें वृत्त का क्षेत्रफल और वृत्त की परिधि शामिल है।
वृत्त का क्षेत्रफल
वृत्त का क्षेत्रफल निकालने के लिए हमें नीचे दी गयी सूत्र की आवश्यकता होती है। यह सूत्र है:
क्षेत्रफल = π (π = pi) * (त्रिज्या)^2
यहां, π (पाई) एक गणितीय नियतांक है जिसका दशमलव मान लगभग 3.14159 होता है। त्रिज्या की लंबाई को वर्ग में करने का मतलब है कि उसे खुद से गुणा करना होता है।
उदाहरण के लिए, यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल इस प्रकार होगा:
क्षेत्रफल = π * (5 सेमी)^2
= π * 25 वर्ग सेमी
≈ 78.54 वर्ग सेमी
व्यास से क्षेत्रफल:
व्यास का उपयोग करके भी वृत्त का क्षेत्रफल निकाला जा सकता है, क्योंकि व्यास (D) दो गुना त्रिज्या (r) के बराबर होता है।
क्षेत्रफल = π * (D/2)^2
= π * (D^2)/4
उदाहरण:
यदि किसी वृत्त का व्यास 10 सेमी है, तो उसका क्षेत्रफल होगा:
क्षेत्रफल = π * (10 सेमी/2)^2
= π * 25 वर्ग सेमी
≈ 78.54 वर्ग सेमी
वृत्त की परिधि
वृत्त की परिधि निकालने के लिए भी एक सूत्र होता है:
परिधि = 2π * त्रिज्या
उदाहरण:
यदि किसी वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है, तो उसकी परिधि होगी:
परिधि = 2π * 7 सेमी
≈ 43.94 सेमी
व्यास से परिधि:
व्यास का उपयोग करके भी वृत्त की परिधि निकाली जा सकती है:
परिधि = π * व्यास
उदाहरण:
यदि किसी वृत्त का व्यास 14 सेमी है, तो उसकी परिधि होगी:
परिधि = π * 14 सेमी
≈ 43.94 सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल सूत्र का प्रमाण (Circle Area Proof)
आइये हम समझते हैं कि हमें वृत्त के क्षेत्रफल का सूत्र कैसे प्राप्त होता है।
- वृत्तीय क्षेत्रफल उस समतल क्षेत्र को दर्शाता है, जिसे वृत्त अपने अंदर घेरता है।
- कल्पना कीजिए हमारे पास दो संकेन्द्रीय वृत्त (concentric circle) हैं, जिनमें बाहरी वृत्त की त्रिज्या ‘r’ है।
- अब सोचिए कि हम इन दोनों वृत्तों को काटते हैं और उन्हें इस तरह खोलते हैं कि वे मिलकर एक समकोण त्रिभुज (right angle triangle) का आकार ले लेते हैं।
- बाहरी वृत्त का कटा हुआ भाग एक सीधी रेखा बन जाएगा। इस रेखा की लंबाई विशेष गणितीय नियतांक (गणितीय नियतांक) π (पाई) गुना ‘r’ यानि 2πr होगी। यह रेखा बने हुए समकोण त्रिभुज का आधार बनेगी।
- ऊँचाई, जिसे त्रिभुज के शीर्ष से लंबवत नीचे खींचा जाता है, वह मूल वृत्त की त्रिज्या ‘r’ के बराबर होगी।
- इस प्रकार बने समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल, वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होगा।
- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 * आधार * ऊँचाई
- यहाँ, आधार = 2πr और ऊँचाई = r
क्षेत्रफल = 1/2 * 2πr * r
क्षेत्रफल = πr²
वृत्त से संबंधित कुछ सवाल और उनके हल
1. किसी वृत्त की त्रिज्या 8 सेमी है। इसका क्षेत्रफल और परिधि क्या होगी?
हल:
- क्षेत्रफल: π * (8 सेमी)^2 ≈ 201.06 वर्ग सेमी
- परिधि: 2π * 8 सेमी ≈ 50.26 सेमी
2. किसी वृत्त का क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है। उसकी त्रिज्या और व्यास क्या होगा?
हल:
- त्रिज्या: √(क्षेत्रफल / π) = √(154 वर्ग सेमी / π) ≈ 7 सेमी
- व्यास: 2 * त्रिज्या = 2 * 7 सेमी = 14 सेमी
3. किसी वृत्त की परिधि 31.4 सेमी है। उसकी त्रिज्या और क्षेत्रफल क्या होगा?
हल:
- त्रिज्या: परिधि / (2π) = 31.4 सेमी / (2π) = 5 सेमी
- क्षेत्रफल: π * (5 सेमी)^2 ≈ 78.54 वर्ग सेमी
4. एक वृत्त में एक जीवा खींची गई है जो केंद्र से 3 सेमी की दूरी पर है। यदि जीवा की लंबाई 8 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या क्या होगी?
हल:
- त्रिज्या का वर्ग = (केंद्र से जीवा की दूरी)^2 + (जीवा की लंबाई / 2)^2
- त्रिज्या का वर्ग = (3 सेमी)^2 + (8 सेमी / 2)^2
- त्रिज्या का वर्ग = 9 सेमी^2 + 16 सेमी^2
- त्रिज्या का वर्ग = 25 सेमी^2
- त्रिज्या = √25 सेमी^2 = 5 सेमी
5. एक वृत्त में एक स्पर्श रेखा खींची गई है। यदि स्पर्श बिंदु से केंद्र की दूरी 6 सेमी है और स्पर्श रेखा की लंबाई 8 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या क्या होगी?
हल:
- त्रिज्या का वर्ग = (स्पर्श बिंदु से केंद्र की दूरी)^2 + (स्पर्श रेखा की लंबाई)^2
- त्रिज्या का वर्ग = (6 सेमी)^2 + (8 सेमी)^2
- त्रिज्या का वर्ग = 36 सेमी^2 + 64 सेमी^2
- त्रिज्या का वर्ग = 100 सेमी^2
- त्रिज्या = √100 सेमी^2 = 10 सेमी
निष्कर्ष
आज के इस लेख में हमने वृत्त की परिभाषा से संबंधित विस्तार पूर्वक जानकारी प्राप्त की। जिसमें हमने वृत्त का व्यास, वृत्त की त्रिज्या, इत्यादि सभी विषयों के बारे में जाना। यदि आप वृत्त विषय से संबंधित कोई अन्य प्रश्न पूछना चाहते हो तो आप हमें कमेंट कर सकते हैं। अगर आपके लिए यह लेख उपयोगी रहा हो तो इसे अन्य लोगों के साथ भी जरूर शेयर करें।
