परिमेय संख्या की परिभाषा | Rational numbers in Hindi

परिमेय संख्याएँ गणित में एक आवश्यक अवधारणा हैं और दैनिक जीवन में व्यापक रूप से उपयोग की जाती हैं। गणित में कुशल होने के लिए परिमेय संख्याओं को समझना और उनके साथ कैसे काम करना है, यह महत्वपूर्ण है। 

इस लेख में, हम परिमेय संख्याओं, उनके गुणों और उनके साथ अंकगणितीय संक्रियाएँ करने के तरीके पर करीब से नज़र डालेंगे।

परिमेय संख्या की परिभाषा (Rational Numbers Definition)

एक परिमेय संख्या कोई भी संख्या है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां भाजक शून्य नहीं है। परिमेय संख्याओं में भिन्न और सांत या आवर्ती दशमलव शामिल हैं। उदाहरण के लिए, 1/2, 0.75, और 3.333… सभी परिमेय संख्याएँ हैं।

परिमेय संख्याओं के उदाहरण

परिमेय संख्याओं के कुछ सामान्य उदाहरणों में शामिल हैं:

• 1/3
• 2/5
• 0.25
• 4.6
• -1/2

परिमेय संख्याओं का मानक फॉर्म

परिमेय संख्याओं को उनके सरलतम रूप में भिन्न के रूप में लिखकर मानक रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 0.75 को 3/4 लिखा जा सकता है और 4.6 को 46/10 लिखा जा सकता है।

परिमेय संख्याओं की पहचान कैसे करें?

यह पहचानने के लिए कि क्या कोई संख्या एक परिमेय संख्या है, हमें यह जाँचने की आवश्यकता है कि क्या इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि यह हो सकता है, तो यह एक परिमेय संख्या है। 

उदाहरण के लिए, 5.6 को 56/10 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए यह एक परिमेय संख्या है।

परिमेय संख्या के प्रकार

परिमेय संख्याओं को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है: 

1. धनात्मक परिमेय संख्याएँ
2. ऋणात्मक परिमेय संख्याएँ

एक सकारात्मक परिमेय संख्या कोई भी परिमेय संख्या है जो शून्य से अधिक है, जबकि एक ऋणात्मक परिमेय संख्या कोई भी परिमेय संख्या है जो शून्य से कम है।

अंकगणितीय संक्रियाएँ

परिमेय संख्याओं को किसी अन्य प्रकार की संख्या की तरह ही जोड़ा, घटाव, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। आइए प्रत्येक संक्रियाएँ पर विस्तार से नज़र डालें।

जोड़ना

दो परिमेय संख्याओं को जोड़ने के लिए, हमें एक उभयनिष्ठ भाजक ज्ञात करना होगा और फिर अंशों को जोड़ना होगा। 

उदाहरण के लिए, 1/2 और 1/3 को जोड़ने के लिए, हमें एक सामान्य भाजक खोजने की आवश्यकता है, जो 6 है। फिर, हम भिन्नों को 6 के भाजक में परिवर्तित करते हैं और अंशों को जोड़ते हैं:

1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6

अतिरिक्त परिमेय संख्या के नियम

परिमेय संख्याओं को जोड़ने के नियम हैं:

• यदि दो परिमेय संख्याओं में समान भाजक हैं, तो अंशों को जोड़ें और सामान्य भाजक पर योग लिखें।
• यदि दो परिमेय संख्याओं के हर अलग-अलग हैं, तो हर को आपस में गुणा करके एक उभयनिष्ठ हर ज्ञात कीजिए। फिर, भिन्नों को उभयनिष्ठ भाजक के रूप में परिवर्तित करें और अंशों को जोड़ें।

उदाहरण

उदाहरण 1. 2/3 + 1/4 = ?

• हमें एक सामान्य भाजक खोजने की आवश्यकता है, जो 12 (3 x 4) है।
• 2/3 को 12 के हर में बदलें: 2/3 x 4/4 = 8/12
• 1/4 को 12 के हर में बदलें: 1/4 x 3/3 = 3/12
• अंशों को जोड़ें: 8/12 + 3/12 = 11/12

2/3 + 1/4 का उत्तर 11/12 है।

उदाहरण 2. -1/2 + 2/5 = ?

• हमें एक सामान्य भाजक खोजने की आवश्यकता है, जो 10 (2 x 5) है।
• -1/2 को 10 के हर में बदलें: -1/2 x 5/5 = -5/10
• 2/5 को 10 के हर में बदलें: 2/5 x 2/2 = 4/10
• अंशों को जोड़ें: -5/10 + 4/10 = -1/10

-1/2 + 2/5 का उत्तर -1/10 है।

घटाव

उदाहरण

3/4 – 1/5 = ?

• हमें एक सामान्य भाजक खोजने की आवश्यकता है, जो 20 (4 x 5) है।
• 3/4 को 20 के हर में बदलें: 3/4 x 5/5 = 15/20
• 1/5 को 20 के हर में बदलें: 1/5 x 4/4 = 4/20
• अंशों को घटाएं: 15/20 – 4/20 = 11/20

3/4 – 1/5 का उत्तर 11/20 है।

 गुणा 

उदाहरण

2/3 x 3/4 = ?

• अंशों को गुणा करें: 2 x 3 = 6
• हर को गुणा करें: 3 x 4 = 12

उत्तर 6/12 है, जिसे 1/2 तक सरल किया जा सकता है।

विभाजित

उदाहरण

1/2 ÷ 2/3 = ?

• भाजक को पलटें और गुणा करें: 1/2 x 3/2 = 3/4

उत्तर 3/4 है।

रिमेय संख्याओं के गुण

परिमेय संख्याओं के निम्नलिखित गुण होते हैं:

1. संवृत गुण: दो परिमेय संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल या भागफल भी एक परिमेय संख्या होती है।
2. क्रमविनिमेय गुण: जोड़ या गुणा में संख्याओं का क्रम परिणाम को नहीं बदलता है। A + B = B + A और AB = BA
3. साहचर्य गुण: संख्याओं को जोड़ने या गुणा करने से परिणाम नहीं बदलता है। A + (B + C) = (A + B) + C और A (BC) = (AB) C
4. वितरण गुण: किसी संख्या का गुणनफल और दो अन्य संख्याओं का योग या अंतर उस संख्या और अन्य दो संख्याओं के गुणनफल के योग या अंतर के बराबर होता है। A (b + C) = AB + AC और A (B – C) = AB – AC
5. योगात्मक व्युत्क्रम गुण: एक परिमेय संख्या और उसके योगात्मक व्युत्क्रम (विपरीत) का योग शून्य के बराबर होता है। A + (-A) = 0
6. गुणात्मक व्युत्क्रम गुण: एक गैर-शून्य परिमेय संख्या का गुणनफल और इसका गुणक प्रतिलोम (पारस्परिक) एक के बराबर होता है। A x (1/A) = 1
7. तत्समक अवयव: किसी भी परिमेय संख्या और शून्य का योग परिमेय संख्या है, और किसी भी परिमेय संख्या और एक का गुणनफल परिमेय संख्या है। A + 0 = A और A x 1 = ए

अपरिमेय संख्याओं से अंतर 

परिमेय और अपरिमेय संख्याओं के बीच मुख्य अंतर यह है कि परिमेय संख्याओं को भागफल या दो पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जबकि अपरिमेय संख्याओं को इस तरह व्यक्त नहीं किया जा सकता है। 

उदाहरण के लिए, pi (π) एक अपरिमेय संख्या है जिसे अंश के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और इसका दशमलव प्रतिनिधित्व बिना दोहराए अनंत काल तक चलता रहता है।

दो परिमेय संख्याओं के बीच की परिमेय संख्याएँ ज्ञात करना हम दो परिमेय संख्याओं के बीच की परिमेय संख्याओं को आरंभिक बिंदु के रूप में दो संख्याओं के औसत का उपयोग करके और फिर मौजूदा संख्याओं का औसत लेकर और अधिक परिमेय संख्याएँ उत्पन्न करके ज्ञात कर सकते हैं। किसी भी दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत संख्या में परिमेय संख्या उत्पन्न करने के लिए इस प्रक्रिया को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है।

उदाहरण

1. 1/3 और 2/3 के बीच तीन परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

Step 1: 1/3 और 2/3 का औसत ज्ञात करें।

(1/3 + 2/3) / 2 = 1/2

Step 2: 1/3 और 1/2 का औसत ज्ञात करें।

(1/3 + 1/2) / 2 = 5/12

Step 3: 1/2 और 2/3 का औसत ज्ञात करें।

(1/2 + 2/3) / 2 = 7/12

इसलिए, 1/3 और 2/3 के बीच की तीन परिमेय संख्याएँ 5/12, 1/2 और 7/12 हैं।

सारांश (Conclusion):

संक्षेप में, परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अंश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और वे धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकती हैं। परिमेय संख्याओं को उनके दशमलव निरूपण द्वारा पहचाना जा सकता है, जो या तो समाप्त हो रहा है या आवर्ती है। 

कुछ नियमों का पालन करते हुए परिमेय संख्याओं को जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है, और उनके पास कई गुण होते हैं जैसे कि क्रमविनिमेय, साहचर्य, वितरण और तत्समक गुण। वे अपरिमेय संख्याओं से भी भिन्न होते हैं, जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। 

परिमेय संख्याओं को दो परिमेय संख्याओं के बीच उनका औसत लेकर और मौजूदा का औसत निकालकर अधिक परिमेय संख्याएँ उत्पन्न करके पाया जा सकता है।