सम्मिश्र संख्या: परिभाषा, सूत्र, उदाहरण | Complex numbers in hindi
क्या आप सम्मिश्र संख्याओं और गणित में उनके उपयोग के बारे में उत्सुक हैं?
इस लेख में, हम इस आकर्षक विषय को समझने में आपकी मदद करने के लिए सम्मिश्र संख्याओं की मूल बातें, उनके गुण, सूत्र और उदाहरण बताएंगे।
सम्मिश्र संख्या की परिभाषा (Complex number definition in Hindi)
सम्मिश्र संख्या वह संख्या है जिसमें एक वास्तविक भाग और एक काल्पनिक भाग होता है।
इसे a + bi के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और i काल्पनिक इकाई है, जिसे -1 के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है।
सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व
सम्मिश्र विमान में एक बिंदु के रूप में एक सम्मिश्र संख्या को ज्यामितीय रूप से दर्शाया जा सकता है। वास्तविक भाग को क्षैतिज अक्ष पर दर्शाया जाता है, जबकि काल्पनिक भाग को ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दर्शाया जाता है।
निरपेक्ष मूल्य
एक सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान मूल बिंदु और उस बिंदु के बीच की दूरी है जो सम्मिश्र तल में सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करता है। इसे सम्मिश्र संख्या के मापांक के रूप में भी जाना जाता है और इसे |z| द्वारा निरूपित किया जाता है।
बीजगणितीय संचार:
सम्मिश्र संख्याओं का जोड़:
दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ने के लिए, हम उनके वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, (2 + 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (3 + 5)i = 6 + 8i।
सम्मिश्र संख्याओं का घटाव:
दो सम्मिश्र संख्याओं को घटाने के लिए, हम उनके वास्तविक भागों और काल्पनिक भागों को अलग-अलग घटाते हैं।
उदाहरण के लिए, (2 + 3i) – (4 + 5i) = (2 – 4) + (3 – 5)i = -2 – 2i।
सम्मिश्र संख्याओं का गुणन:
दो सम्मिश्र संख्याओं को गुणा करने के लिए, हम वितरण गुण और इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि i² = -1। उदाहरण के लिए, (2 + 3i) × (4 + 5i) = 2 × 4 + 2 × 5i + 3i × 4 + 3i × 5i = -7 + 22i।
सम्मिश्र संख्या का विभाजन:
दो सम्मिश्र संख्याओं को विभाजित करने के लिए, हम काल्पनिक भाग को हटाने के लिए हर के संयुग्मी का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, (2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) × (4 – 5i) / (4² + 5²) = 23/41 – 2/41i।
सर्वसमिकाएं:
सम्मिश्र संख्याओं की कुछ सर्वसमिकाएं हैं:
- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
- (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
- (a + bi) × (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i
- (a + bi) / (c + di) = (ac + bd) / (c² + d²) + (bc – ad)i / (c² + d²)
गुण:
सम्मिश्र संख्याओं के कुछ गुण हैं:
- क्रमविनिमेय गुण: a + bi = b + ai
- साहचर्य संपत्ति: (a + bi) + (c + di) + (e + fi) = (a + c + e) + (b + d + f)i
- वितरण गुण: (a + bi) × (c + di + e + fi) = ac + adi + ae + afi + bci + bdi² + bei + bfi
- पहचान संपत्ति: a + 0i = a
- उलटा संपत्ति: a + bi + (-a – bi) = 0
संयुग्म:
संख्या के काल्पनिक भाग के चिह्न को बदलकर एक सम्मिश्र संख्या का संयुग्म प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, a + bi का संयुग्मी a – bi है। एक जटिल संख्या के संयुग्म में मूल संख्या के समान वास्तविक भाग होता है लेकिन एक नकारात्मक काल्पनिक भाग होता है।
सम्मिश्र संख्याओं के कई अनुप्रयोगों में संयुग्म एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसका एक गुण यह है कि एक सम्मिश्र संख्या और उसके संयुग्म का गुणनफल एक वास्तविक संख्या होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक सम्मिश्र संख्या और उसके संयुग्मी का गुणनफल (a + bi)(a – bi) = a² – (bi)² = a² + b² है, जो एक वास्तविक संख्या है।
संयुग्म की एक अन्य उपयोगी संपत्ति यह है कि एक सम्मिश्र संख्या और उसके संयुग्म का योग हमेशा एक वास्तविक संख्या होती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि (a + bi) + (a – bi) = 2a, जो एक वास्तविक संख्या है।
सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम
एक सम्मिश्र संख्या का व्युत्क्रम एक अन्य सम्मिश्र संख्या है, जिसे मूल संख्या से गुणा करने पर गुणनफल के रूप में 1 प्राप्त होता है। एक सम्मिश्र संख्या a + bi का व्युत्क्रम (a + bi) / (a² + b²) है।
समानता
दो सम्मिश्र संख्याएँ समान होती हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक भाग समान हों और उनके काल्पनिक भाग समान हों। अर्थात्, a + bi = c + di यदि और केवल यदि a = c और b = d है।
उदाहरण:
सम्मिश्र संख्याओं के कुछ उदाहरण 2 + 3i, -5i, और 1 – i हैं। हमने जिन सूत्रों की चर्चा की है, उनका उपयोग करके हम सम्मिश्र संख्याओं पर विभिन्न संक्रियाएँ कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो सम्मिश्र संख्याओं (a + bi) और (c + di) को जोड़ने के लिए, हम केवल उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़ते हैं। अर्थात्, (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न:
हां, यदि हम सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हैं तो हम एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल ले सकते हैं। -1 का वर्गमूल प्रतीक i द्वारा निरूपित किया जाता है।
इंजीनियरिंग, भौतिकी और गणित जैसे क्षेत्रों की एक विस्तृत श्रृंखला में सम्मिश्र संख्या का उपयोग किया जाता है। उनका उपयोग उन मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जिनमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, जैसे विद्युत धाराएं और वेक्टर मात्राएं।
निष्कर्ष (Conclusion)
अंत में, सम्मिश्र संख्याएँ उन वास्तविक संख्याओं का विस्तार हैं जिनमें काल्पनिक संख्याएँ शामिल हैं। उन्हें a + bi के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं और i -1 का वर्गमूल है। सम्मिश्र संख्याओं के कई गुण होते हैं और अध्ययन के विभिन्न क्षेत्रों में इनका उपयोग किया जाता है। इंजीनियरिंग या भौतिकी जैसे क्षेत्रों में काम करने के इच्छुक किसी भी व्यक्ति के लिए सम्मिश्र संख्याओं को समझना महत्वपूर्ण है।
