समलंब चतुर्भुज
समलंब चतुर्भुज गणित में ज्यामिति से संबंधित अवधारणा है। एक समलंब चतुर्भुज चार भुजाओं वाली आकृति होती है, जिसमें आमने-सामने वाली भुज में से केवल एक ही भुजा समांतर होती है। समलंब चतुर्भुज पर आधारित कई तरह के प्रश्न अक्सर प्रतियोगी परीक्षाओं में पूछे जाते हैं। इसलिए समलंब चतुर्भुज की परिभाषा एवं इसकी अवधारणा को समझना महत्वपूर्ण है।
तो लिए आज के इस लेख में हम जानते हैं कि समलंब चतुर्भुज क्या होता है? साथ ही हम समलंब चतुर्भुज की परिभाषा, समलंब चतुर्भुज का सूत्र, समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल और परिमाप, इत्यादि सभी के बारे में जानकारी प्राप्त करेंगे।
समलंब चतुर्भुज क्या होता है?
समलंब चतुर्भुज समतल ज्यामिति से संबंधित एक अवधारणा है, जो की चार भुजाओं वाली आकृति होती है। इसकी मुख्य विशेषता यह है कि इसकी समझ यानी आमने-सामने वाली भुज में से केवल एक ही युग्म समांतर होता है।
इन समांतर भुजाओं को समलंब चतुर्भुज के आधार के रूप में जाना जाता है एवं अन्य दो समांतर भुजाओं को पार्श्व भुजाएं कहा जाता है।
समलंब भुज के चित्र में आप देख सकते हैं कि AB और CD समलंब चतुर्भुज ABCD के समांतर आधार हैं। और वही रेखाखंड यानी अन्य दो भुजाएं AD और BC पार्श्व भुजाएं हैं।
इसके अलावा चित्र में दर्शाया गया H, AD की लंबवत दूरी को दर्शाता है। जिसे हम ऊंचाई कहते हैं।
समलंब चतुर्भुज के गुण
समलंब चतुर्भुजों में कुछ विशिष्ट गुण होते हैं, जो उन्हें अन्य चतुर्भुजों से अलग करते हैं। आइए, इन महत्वपूर्ण गुणों को देखें:
- समलंब चतुर्भुज में केवल एक युग्म समान्तर भुजाएँ होती हैं। अन्य दो भुजाएँ समान्तर नहीं होतीं।
- किसी भी चतुर्भुज की तरह, एक समलंब चतुर्भुज के सभी आंतरिक कोणों का योग 360° होता है।
- एक समलंब चतुर्भुज में, जो कोण एक ही आधार पर होते हैं (आधार के एक ही सिरे पर मिलते हैं), उनके कोणों का योग 180° होता है। इन्हें सम्पूरक कोण (supplementary angles) कहा जाता है।
- समलंब चतुर्भुज के विकर्ण (आकृति के दो विपरीत कोनों को मिलाने वाले रेखाखंड) एक दूसरे को नहीं काटते हैं, बल्कि एक दूसरे को पार कर सकते हैं।
समलंब चतुर्भुज का सूत्र
समलंब चतुर्भुज में दो सूत्रों का प्रयोग किया जाता है। जिसमें समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल और परिमाप शामिल है। लिए हम इन दोनों सूत्रों को विस्तार से देखते हैं।
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल सूत्र: (Area of Trapezium)
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं।
क्षेत्रफल = 1/2 * (समंतर आधारों का योग) * (ऊँचाई)
Area = (1/2) h (a+b)
जहां पर,
समंतर आधार (a , b): समलंब चतुर्भुज में दो समान्तर भुजाएँ होती हैं, जिन्हें आधार कहा जाता है।
योग (a+b) : सूत्र में, हमें समांतर आधारों की लंबाई को जोड़ना होगा।
ऊँचाई (h): यह एक लम्बवत रेखाखंड है, जो एक आधार से दूसरे आधार तक खींची जाती है।
समलंब चतुर्भुज का परिमाप सूत्र (Perimeter of Trapezium)
समलंब चतुर्भुज के परिमाप ज्ञात करने के लिए हम नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करते हैं।
परिमाप = सभी भुजाओं की लंबाई का योग
Perimeter = Sum of all the sides = AB + BC + CD + DA
जहां पर,
समलंब चतुर्भुज में चार भुजाएँ होती हैं, जिनमें दो समान्तर भुजाएँ (आधार) और दो पार्श्व भुजाएँ होती हैं। परिमाप ज्ञात करने के लिए, हमें इन सभी भुजाओं की लंबाई को जोड़ना होगा।
समलंब चतुर्भुज का सूत्र ज्ञात करने का तरीका (Derivation of Area of a Trapezium)
समलंब चतुर्भुज (Trapezium) के क्षेत्रफल (Area) को निकालने के दो तरीके हैं। पहला तरीका एक सूत्र याद करना है, लेकिन दूसरा तरीका हमें यह समझने में मदद करता है कि सूत्र वास्तव में कहाँ से आता है।
ऊपर दिए गए चित्र में, हमारे पास एक समलंब चतुर्भुज ABCD है, जिसके आधार AB और DC हैं। इसकी ऊँचाई h है (यह लंबवत दूरी है जो आधार AD को आधार BC से जोड़ती है)।
हम इस समलंब चतुर्भुज को दो टुकड़ों में विभाजित कर सकते हैं:
- बाईं ओर का टुकड़ा: यह एक आयत (Rectangle) है जिसका आधार AB और ऊंचाई h है। हम जानते हैं कि आयत का क्षेत्रफल = आधार x ऊंचाई होता है।
- दाईं ओर का टुकड़ा: यह एक समकोण त्रिभुज (Right Triangle) है जिसका आधार DC और ऊंचाई h है। हम यह भी जानते हैं कि समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 * आधार x ऊंचाई होता है।
अब, चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल इन दोनों टुकड़ों के क्षेत्रफलों के बराबर होगा।
कुल क्षेत्रफल = आयत का क्षेत्रफल + समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल
आयत का क्षेत्रफल = AB * h
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2 * DC * h
कुल क्षेत्रफल = AB * h + 1/2 * DC * h
चूँकि हम क्षेत्रफल के लिए एक सरल सूत्र चाहते हैं, आइए इन दोनों पदों को मिलाएँ:
कुल क्षेत्रफल = (AB + DC)/2 * h
यही वह सूत्र है जिसका उपयोग हम समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए करते हैं!
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?
समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने करने के लिए नीचे दिए गए उदाहरण को फॉलो करें।
उदाहरण:
मान लीजिए एक समलंब चतुर्भुज ABCD दिया गया है, जिसके आधार AB और CD की लंबाई क्रमशः 10 सेमी और 8 सेमी है, और इसकी ऊँचाई H 6 सेमी है।
इस समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे:
- समंतर आधारों का योग ज्ञात करें: 10 सेमी + 8 सेमी = 18 सेमी
- क्षेत्रफल सूत्र में मान रखें: क्षेत्रफल = 1/2 * 18 सेमी * 6 सेमी
- गुणा करें: क्षेत्रफल = 54 वर्ग सेमी
समलंब चतुर्भुज का परिमाप कैसे ज्ञात करें?
उदाहरण:
मान लीजिए एक समलंब चतुर्भुज ABCD दिया गया है, जिसके आधार AB और CD की लंबाई क्रमशः 10 सेमी और 8 सेमी है, और पार्श्व भुजाओं AD और BC की लंबाई क्रमशः 6 सेमी और 9 सेमी है।
इस समलंब चतुर्भुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे:
सूत्र = सभी भुजाओं की लंबाई का योग
AB = 10 सेमी, CD = 8 सेमी, AD = 6 सेमी, BC = 9 सेमी
10 सेमी + 8 सेमी + 6 सेमी + 9 सेमी = 33 सेमी
समलंब चतुर्भुज ABCD का परिमाप 33 सेमी है।
समलंब चतुर्भुज के प्रकार (Types of Trapezium)
समलंब चतुर्भुजों को विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:
- समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज (Isosceles Trapezium): जैसा कि हमने पहले जाना , यदि एक समलंब चतुर्भुज में पार्श्व भुजाएँ बराबर हों, तो इसे समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज कहा जाता है।
- विषमबाहु समलंब चतुर्भुज (Scalene Trapezium): यदि एक समलंब चतुर्भुज में पार्श्व भुजाएँ असमान हों, तो इसे विषमबाहु समलंब चतुर्भुज कहा जाता है।
- समकोण समलंब चतुर्भुज (Right Trapezium): यदि एक समलंब चतुर्भुज में एक आधार कोण 90° का होता है, तो इसे समकोण समलंब चतुर्भुज कहा जाता है।
- असमकोण समलंब चतुर्भुज (Oblique Trapezium): यदि एक समलंब चतुर्भुज में कोई भी आधार कोण 90° का नहीं होता है, तो इसे असमकोण समलंब चतुर्भुज कहा जाता है।
समलंब चतुर्भुज पर आधारित सवाल एवं उनके हल
1. एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी है। यदि उसके आधारों की लंबाई 10 सेमी और 14 सेमी है, तो उसकी ऊँचाई क्या होगी?
हल:
क्षेत्रफल = 1/2 * (समंतर आधारों का योग) * (ऊँचाई)
48 = 1/2 * (10 + 14) * (ऊँचाई)
48 = 12 * (ऊँचाई)
ऊँचाई = 48/12
ऊँचाई = 4 सेमी
उत्तर: समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई 4 सेमी है।
2. एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में, आधार AB = 6 सेमी, CD = 8 सेमी, और विकर्ण AC और BD एक दूसरे को E पर काटते हैं। यदि त्रिभुज ACE का क्षेत्रफल 10 वर्ग सेमी है, तो AE की लंबाई क्या होगी?
हल:
क्षेत्रफल_ACE = 1/2 * AE * CE
10 = 1/2 * AE * CE
20 = AE * CE
चूंकि CE = AC – AE, इसलिए
20 = AE * (AC – AE)
20 = AE^2 – AE * AC
0 = AE^2 – AE * AC – 20
यह एक द्विघातीय समीकरण है जिसे AE के लिए हल किया जा सकता है।
AE = (-AC ± √(AC^2 + 4 * 20)) / 2
AC की लंबाई ज्ञात नहीं है, इसलिए AE की लंबाई भी ज्ञात नहीं की जा सकती है।
3. एक समलम्ब चतुर्भुज PQRS में, आधार PQ = 15 सेमी, RS = 20 सेमी, और पार्श्व भुजा QR = 12 सेमी है। यदि PS की लंबाई 13 सेमी है, तो त्रिभुज PQS का क्षेत्रफल क्या होगा?
हल:
त्रिभुज PQS का आधार PS = 13 सेमी और ऊँचाई QR = 12 सेमी है।
क्षेत्रफल_PQS = 1/2 * आधार * ऊँचाई
क्षेत्रफल_PQS = 1/2 * 13 * 12
क्षेत्रफल_PQS = 78 वर्ग सेमी
उत्तर: त्रिभुज PQS का क्षेत्रफल 78 वर्ग सेमी है।
निष्कर्ष
आज के इस लेख में हमने समलंब चतुर्भुज की परिभाषा के बारे में पूरी जानकारी प्राप्त की। साथ ही हमने समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल और परिमाप निकालने का सूत्र भी जाना।
यदि आपको समलंब चतुर्भुज से संबंधित अन्य जानकारी की आवश्यकता है तो आप हमें कमेंट करके पूछ सकते हैं।
