घनमूल
गणित की दुनिया में घनमूल एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। यह लगभग सभी को पता होगा कि घनमूल में किसी भी एक संख्या को स्वयं की संख्या से तीन बार गुणा किया जाता है और इससे हमें वह मूल संख्या प्राप्त होती है। लेकिन घनमूल क्या होता है और इसे निकालने की कौन-कौन सी विधियां हैं, यह समझना छात्रों के लिए कठिन हो जाता है।
इसलिए, आज के इस लेख में हम घनमूल के बारे में विस्तार से जानकारी प्राप्त करेंगे। जिसमें हम घनमूल की परिभाषा, घनमूल के Symbol और घनमूल को निकालने की विधियों के बारे में जानेंगे। तो आइए लेख को शुरू करें।
घनमूल की परिभाषा
घनमूल की परिभाषा के अनुसार घनमूल वह संख्या होती है, जिसे अपने आप में तीन बार गुणा करें तो वही मूल संख्या मिल जाती है, जिसका घनमूल निकाला जा रहा है।
जैसा कि हमने बताया किसी संख्या एक का घनमूल वह संख्याए होती है जिसको स्वयं से तीन बार गुणा करने पर एक प्राप्त होता है। इसे हम कुछ इस तरह दर्शाते हैं।
y³ = x
यहां y घनमूल है और x वह संख्या है जिसका घनमूल निकल जाना है। घनमूल को इंग्लिश में Cube Root कहा जाता है।
घनमूल का उदाहरण,
8 का घनमूल 2 होगा, क्योंकि 2³ = 8 (2 x 2 x 2 = 8)।
घनमूल का चिन्ह
Ghanmool kya hota hai, जानने के बाद लिए हम घनमूल के symbol के बारे में जानते हैं। तो इसे दर्शाने के लिए 2 चिन्हों का उपयोग किया जाता है।
घनमूल को दर्शाने के लिए सबसे आम तौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला Symbol ³√ है। जिसे उस संख्या के ऊपर लिखा जाता है, जिसका घनमूल निकालना है। जैसे – ³√8
घनमूल को दर्शाने का दूसरा संकेत 8^(1/3) है। (यह घातांक अंकन पद्धति का उपयोग करता है, जहाँ 1/3 घन व्यक्त करता है)
घनमूल का सूत्र (Cube Root Formula)
जैसा कि हमने पहले जाना घनमूल हमें वह संख्या देता है, जिसे आप इस संख्या से तीन बार गुणा करते हैं। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि a का घनमूल b है तो,
लेकिन यह सूत्र तभी सही होगा जब a= b ³
यानी कि इस सूत्र का उपयोग हम तब कर सकते हैं, जब हमें पूर्ण घन का मान निकालना होता है। इस सूत्र के माध्यम से अपूर्ण घन का मान नहीं निकाला जा सकता है।
जैसे – ³√27 = 3 x 3 x 3
यहां पर हम आपके साथ कुछ पूर्ण घनमूल संख्याओं का मान साझा कर रहे हैं।
| Number | Cubes |
| 1 | 1 |
| 2 | 8 |
| 3 | 27 |
| 4 | 64 |
| 5 | 125 |
| 6 | 216 |
| 7 | 343 |
| 8 | 512 |
| 9 | 729 |
| 10 | 1000 |
घनमूल निकालने की विधि
घनमूल निकालने की कई विधियां हैं। इन में से कुछ सरल विधियां है जो छोटी संख्याओं का घनमूल निकालने के लिए उपयुक्त है। लेकिन यहां पर हम आपको उन विधियों के बारे में भी जानकारी देंगे, जिसके माध्यम से आप बड़ी संख्याओं का भी घनमूल निकाल सकते हैं।
- गुणनखंड विधि के माध्यम से (Fraction Method)
गुणनखंड विधि से घनमूल निकालने की प्रक्रिया बहुत ही आसान है। इसके माध्यम से छोटी संख्या और बड़ी संख्या दोनों का ही घनमूल निकाला जाता है। लेकिन इस विधि से छोटी संख्याओं का घनमूल निकालना आसान होता है। इस इस विधि से छोटी संख्याओं का घनमूल निकालना आसान होता है।
उदाहरण के लिए 512 का घनमूल निकालने के लिए,
चरण 1 – सबसे पहले आप 512 को उसके अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करें।
512 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
चरण 2 – अब गुणनखंडों को ऐसे समूह में बांट लें कि हर समूह में तीन एक जैसे गुणनखंड हो। जैसे –
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
चरण 3 – अब घनमूल निकालने के लिए बनाए गए हर समूह में से एक गुणनखंड चुने और उन्हें आपस में गुणा कर दें।
जैसे – 2 x 2 x 2 = 8
इस तरह से 512 का घनमूल ³√8 होगा।
- अनुमान विधि (Estimation Method)
अनुमान विधि का प्रयोग बड़ी संख्याओं के लिए घनमूल निकालने के लिए उपयोग किया जाता है। इस विधि में हम सबसे पहले दी गई संख्याओं को समूह में बताते हैं और फिर उसके घनमूल का अनुमान लगाते हैं।
आईए इस विधि को आसान भाषा में समझते हैं।
चरण 1 – सबसे पहले दी गई संख्याओं को सबसे दाहिने अंक से शुरू करते हुए तीन अंको के समूह में बांट लें। अगर अंकों का कोई समूह तीन का नहीं बन पाता है तो दिए गए संख्या में बाई तरफ से सुनाने लगे ताकि वह समूह तीन अंको का बन जाए।
उदाहरण के लिए,
मान लीजिए हमें 74088 का घनमूल निकालना है. तो सबसे पहले 74088 को दायें सिरे से शुरू करते हुए 3-3 अंकों के समूहों में बाँटना होगा.
इस प्रकार से विभाजित करने पर हमें ये मिलता है:
074 088
चरण 2 – अब सबसे दाएं वाले समूह से (जो कि 088 है) इकाई अंक को लिख ले। जैसे – 8
चरण 3 – तो अब आपको पहले ³√8 का घनमूल निकालना है, जो की 2 होगा।
चरण 4 – तब आपको अपने घनमूल के मान की एक संख्या मिल गई है जो कि 2 है।
चरण 5 – अब बाईं तरफ में हमारे पास 074 बचता है। तो अब आप यह देखेंगे की 074 किन संख्याओं का घनमूल हो सकता है या फिर किन संख्याओं के नजदीकी घनमूल बन सकते हैं। जैसे
074 का घनमूल देखेंगे तो यह 4 का घनमूल और 5 का घनमूल बन सकता है। क्योंकि, 4 x 4 x 4 = 64, 5 x 5 x 5 = 125
तब 4 और 5 में जो सबसे छोटी संख्या होगी हम उसे संख्या को 074 का घनमूल मान लेंगे।
तो यहां पर हम 4 संख्या को ले लेते हैं।
चरण 6 – इस तरह से हमें 074 का घनमूल संख्या 4 भी मिल गया है। और इससे पहले हमारी एक घनमूल संख्या 2 थी।
इस प्रकार से 74088 का घनमूल 42 होगा।
आप इन दोनों विधियों का प्रयोग करके आसानी से किसी भी संख्या का घनमूल निकाल सकते हैं।
1 से 30 तक घनमूल
यहां पर हम आपकी सुविधा के लिए 1 से 30 तक की संख्याओं की घनमूल की सारणी बता रहे हैं ताकि आप आसानी से इन छोटी संख्याओं का घनमूल याद कर सके और इन संख्याओं का घनमूल निकाल सकें।
| संख्या | घनमूल |
| 1 | 1 |
| 2 | 1.26 |
| 3 | 1.44 |
| 4 | 1.59 |
| 5 | 1.71 |
| 6 | 1.82 |
| 7 | 1.91 |
| 8 | 2 |
| 9 | 2.08 |
| 10 | 2.16 |
| 11 | 2.24 |
| 12 | 2.31 |
| 13 | 2.37 |
| 14 | 2.44 |
| 15 | 2.51 |
| 16 | 2.58 |
| 17 | 2.65 |
| 18 | 2.71 |
| 19 | 2.77 |
| 20 | 2.83 |
| 21 | 2.89 |
| 22 | 2.95 |
| 23 | 3 |
| 24 | 3.06 |
| 25 | 3.12 |
| 26 | 3.18 |
| 27 | 3.24 |
| 28 | 3.3 |
| 29 | 3.36 |
| 30 | 3.42 |
Note -: कुछ संख्याओं के घनमूल पूर्णांक नहीं होते हैं, इसलिए उन्हें दशमलव स्थानों तक लिखा गया है।
ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल
ऋणात्मक संख्याओं का घनमूल निकालने का तरीका भी पूर्ण संख्याओं के गान निकालने के तरीके के जैसा ही होता है। आपको बस यह याद रखना है कि किसी ऋणात्मक संख्या का घनमूल हमेशा ऋणात्मक ही होता है जबकि किसी धनात्मक संख्या का घनमूल हमेशा धनात्मक होता है।
उदाहरण के लिए-7 का घनमूल अगर हम निकलेंगे तो हम -7 को तीन बार गुणा करेंगे।
गुणा करने पर हमें 343 प्राप्त होगा लेकिन यह इसे हम -343 के रूप में लिखेंगे। इस तरह -7 का घन – 343 है।
घनमूल के गुण
घनमूल के कुछ महत्वपूर्ण गुण निम्नलिखित हैं:
- घनमूल का घन (Cube of a Cube Root)
किसी संख्या ‘x’ का घनमूल ‘y’ का घन ‘x’ के बराबर होता है:
(y³)³ = x
- घनमूल का घात (Power of a Cube Root)
किसी संख्या ‘x’ का घनमूल ‘y’ का n-वां घात ‘x^(n/3)’ के बराबर होता है:
(y^n) = x^(n/3)
- घनमूल का वर्गमूल (Square Root of a Cube Root)
किसी संख्या ‘x’ का घनमूल ‘y’ का वर्गमूल ‘x^(1/6)’ के बराबर होता है:
√y = x^(1/6)
4.घनमूल का व्युत्क्रमानुपाती (Inverse Proportionality of Cube Roots)
यदि ‘x’ और ‘y’ दो संख्याएँ हैं, तो उनके घनमूलों का व्युत्क्रमानुपाती संबंध होता है:
y³/x³ = 1/y
घनमूल के अनुप्रयोग
- भौतिकी: घनमूल का उपयोग वस्तुओं के घनत्व, आयतन और द्रव्यमान की गणना में किया जाता है।
- रसायन विज्ञान: घनमूल का उपयोग परमाणुओं और अणुओं के आकार की गणना में किया जाता है।
- इंजीनियरिंग: घनमूल का उपयोग संरचनाओं और मशीनों के डिजाइन में किया जाता है।
- अर्थशास्त्र: घनमूल का उपयोग कंपनियों के valuation और निवेश के analysis में किया जाता है।
- कला और डिजाइन: घनमूल का उपयोग कला और डिजाइनों के अनुपात और पैटर्न में किया जाता है।
निष्कर्ष
आज के इस लेख में हमने घनमूल अवधारणा से संबंधित पूरी जानकारी प्राप्त की। उम्मीद है कि इस लेख के माध्यम से आपको घनमूल ज्ञात करने की विधियां, घनमूल का सूत्र, इत्यादि सभी चीजों की जानकारी मिल पाई होगी। यदि आप घनमूल विषय से संबंधित कोई अन्य जानकारी प्राप्त करना चाहते हो तो हमें कमेंट करके पूछें।
