अपरिमेय संख्या – परिभाषा, सूची, गुण, उदाहरण | Irrational Numbers

क्या आपने कभी ऐसी संख्याओं के बारे में सुना है जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है? इन संख्याओं को “अपरिमेय संख्याएँ” कहा जाता है। 

इस लेख में, हम अपरिमेय संख्याओं की परिभाषा, सूची, गुण और उदाहरणों पर चर्चा करेंगे।

अपरिमेय संख्या की परिभाषा (Irrational numbers defintion)

एक अपरिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या है जिसे दो पूर्णांकों के भागफल या अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि संख्या का दशमलव विस्तार न तो समाप्त होता है और न ही दोहराता है। दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसी संख्या है जो बिना किसी पैटर्न के हमेशा के लिए चलती है।

अपरिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व कैसे करें

अपरिमेय संख्याओं को विभिन्न तरीकों से दर्शाया जा सकता है, जैसे कि दशमलव रूप, वर्गमूल और पाई। उदाहरण के लिए, 2 (√2) का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। इसका दशमलव विस्तार 1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… है और यह बिना दोहराए अनंत तक चलता रहता है।

अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण (Irrational numbers examples)

अपरिमेय संख्याओं के कुछ सामान्य उदाहरणों में शामिल हैं:

• √2 (लगभग 1.41421356)
• π (लगभग 3.14159265)
• e (लगभग 2.71828183)
• √3 (लगभग 1.73205081)
• √5 (लगभग 2.23606798)

अपरिमेय संख्या का प्रतीक (Irrational number symbols)

एक अपरिमेय संख्या को आमतौर पर ग्रीक अक्षर “phi” (φ) या प्रतीक “√x” द्वारा निरूपित किया जाता है जहाँ x एक धनात्मक पूर्णांक है जो एक पूर्ण वर्ग नहीं है।

अपरिमेय संख्या के गुण

• अपरिमेय संख्याएँ अनंत और अनावर्ती होती हैं।
• अपरिमेय संख्या को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
• दो अपरिमेय संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल या भागफल अपरिमेय हो भी सकता है और नहीं भी।
• किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।

अपरिमेय संख्याओं की सूची (List of Irrational numbers)

अनगिनत अपरिमेय संख्याएँ हैं, और उन सभी को सूचीबद्ध करना असंभव है। कुछ सबसे आम अपरिमेय संख्याओं में शामिल हैं:

• √2
• π
• e
• √3
• √5
• √7
• √10
• √13
• √17

परिमेय और अपरिमेय संख्या के बीच अंतर

परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जबकि अपरिमेय संख्याएँ नहीं। परिमेय संख्याओं का दशमलव विस्तार आवर्ती या सांत होता है, जबकि अपरिमेय संख्याओं का गैर-दोहराव, गैर-समाप्ति दशमलव विस्तार होता है।

अपरिमेय संख्याओं का योग और गुणनफल

दो अपरिमेय संख्याओं का योग और गुणनफल अपरिमेय हो भी सकता है और नहीं भी।

उदाहरण के लिए, √2 और √3 का योग एक अपरिमेय संख्या है, जबकि √2 और √3 का गुणनफल भी एक अपरिमेय संख्या है।

कैसे अपरिमेय संख्या का पता लगाएं

अपरिमेय संख्या ज्ञात करने के लिए, आप पाइथागोरस प्रमेय या द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। 

उदाहरण के लिए, एक अपूर्ण वर्ग का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या होती है। 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 27, 28 का वर्गमूल। 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, इत्यादि सभी अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं।

अपरिमेय संख्या ज्ञात करने का दूसरा तरीका निरंतर भिन्नों का उपयोग करना है। निरंतर अंश पूर्णांकों के अनंत क्रम के रूप में वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है। उदाहरण के लिए, 2 के वर्गमूल का निरंतर भिन्न प्रतिनिधित्व [1; 2, 2, 2, 2, …], जिसका अर्थ है कि 2 का वर्गमूल 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + …) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। ))))।

अपरिमेय संख्या पर अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

निष्कर्ष (conclusion)

अंत में, अपरिमेय संख्या गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। वे संख्याएँ हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, और उनके पास गैर-दोहराव, गैर-समाप्ति दशमलव विस्तार हैं। अपरिमेय संख्याओं के उदाहरणों में अपूर्ण वर्गों का वर्गमूल शामिल है, जैसे 2, 3, 5, इत्यादि। निरंतर अंशों का उपयोग करके अपरिमेय संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, और उनका उपयोग गणित के कई क्षेत्रों में किया जाता है। उन्नत गणित का अध्ययन करने वाले किसी भी व्यक्ति के लिए अपरिमेय संख्याओं को समझना आवश्यक है, और उनकी खोज का क्षेत्र पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा है।