पूर्णांक: परिभाषा, प्रकार, गुण | Integers In Hindi
हेलो, दोस्त! पूर्णांक एक प्रकार की संख्या है जिसमें शून्य सहित सभी धनात्मक और ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ शामिल होती हैं।
तुम्हें पता है, जब हम संख्याओं के बारे में बात करते हैं, तो हम आम तौर पर गिनने के बारे में सोचते हैं, जैसे कि आपके पास कितने सेब हैं या आप कितने दोस्तों के साथ खेलते हैं। लेकिन क्या आप जानते हैं कि पूर्णांक संख्या कहा काम आते हैं? उदाहरण के लिए
जैसे गिनती करना सीढ़ियों पर चढ़ना और उतरना, या शेयर बाजार बढ़ रहा है और घट रहा है!
इस लेख में, हम पूर्णांकों की परिभाषा, प्रकार, संचालन, गुण और नियमों का पता लगाएंगे। तो, चलो सीखें!
पूर्णांक की परिभाषा (What is Integers in Hindi?)
पूर्णांक पूर्ण संख्याओं का एक समूह है जिसमें शून्य सहित धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ शामिल होती हैं। प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत, जिसमें केवल धनात्मक संख्याएँ शामिल होती हैं, पूर्णांकों में शून्य के साथ-साथ धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ शामिल होती हैं।
पूर्णांकों का सेट
पूर्णांकों के समुच्चय को अक्षर ‘Z’ द्वारा दर्शाया जाता है। इसमें सभी सकारात्मक और नकारात्मक पूर्ण संख्याएं और शून्य शामिल हैं।
पूर्णांकों के प्रकार
पूर्णांक तीन प्रकार के होते हैं:
- शून्य
- सकारात्मक पूर्णांक
- नकारात्मक पूर्णांक
शून्य
शून्य एक तटस्थ संख्या है और न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक। इसे ‘0’ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।
सकारात्मक पूर्णांक
धनात्मक पूर्णांक शून्य से बड़ी संख्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, 1, 2, 3, 4, आदि।
नकारात्मक पूर्णांक
ऋणात्मक पूर्णांक शून्य से छोटी संख्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए -1, -2, -3, -4, आदि।
संख्या रेखा पर पूर्णांक
पूर्णांकों को संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है, केंद्र में शून्य, दाईं ओर धनात्मक पूर्णांक और बाईं ओर ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं।
पूर्णांकों पर संक्रियाएँ
पूर्णांकों के पास संचालन का अपना अनूठा सेट होता है जो उन्हें अन्य संख्या प्रणालियों से अलग करता है। उनके विशिष्ट नियम हैं जिनका पालन अंकगणितीय संक्रियाओं जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग से निपटने के दौरान किया जाता है।
पूर्णांकों का योग
पूर्णांकों का योग एक सरल प्रक्रिया है, लेकिन इसे नियंत्रित करने वाले नियम थोड़े जटिल हो सकते हैं।
समान चिह्न वाले दो पूर्णांकों को जोड़ने पर, हम उनके निरपेक्ष मानों को जोड़ते हैं और परिणाम को वही चिह्न देते हैं जो पूर्णांकों को जोड़ा जाता है।
विपरीत चिह्नों वाले दो पूर्णांकों को जोड़ते समय, हम उनके निरपेक्ष मानों को घटाते हैं और परिणाम को बड़े निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक का चिह्न देते हैं।
योग में पूर्णांकों के नियम
- एक ही चिह्न वाले दो पूर्णांकों को जोड़ते समय, उनके निरपेक्ष मानों को जोड़ें और परिणाम को वही चिह्न दें जो पूर्णांक जोड़े जा रहे हैं।
- विपरीत चिह्नों वाले दो पूर्णांकों को जोड़ते समय, उनके निरपेक्ष मानों को घटाएँ और परिणाम को बड़े निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक का चिह्न दें।
उदाहरण
- दो सकारात्मक पूर्णांक जोड़ना: 7 + 3 = 10
- दो नकारात्मक पूर्णांक जोड़ना: (-4) + (-3) = -7
- एक धनात्मक पूर्णांक और एक ऋणात्मक पूर्णांक को जोड़ने पर: (-5) + 3 = -2
पूर्णांकों का घटाव
पूर्णांकों को घटाना उन्हें जोड़ने जैसा ही है, लेकिन कुछ ट्वीक्स के साथ। समान चिह्न वाले दो पूर्णांकों को घटाते समय, हम उनके निरपेक्ष मानों को घटाते हैं और परिणाम को वही चिह्न देते हैं जो बड़े निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक का होता है। विपरीत चिह्नों वाले दो पूर्णांकों को घटाते समय, हम उनके निरपेक्ष मानों को जोड़ते हैं और परिणाम को बड़े निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक का चिन्ह देते हैं।
घटाव में पूर्णांकों के नियम
- समान चिह्न वाले दो पूर्णांकों को घटाते समय, उनके निरपेक्ष मानों को घटाएँ और परिणाम को वही चिह्न दें जो बड़े निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक का है।
- विपरीत चिह्नों वाले दो पूर्णांकों को घटाते समय, उनके निरपेक्ष मानों को जोड़ें और परिणाम को बड़े निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक का चिह्न दें।
उदाहरण
- दो सकारात्मक पूर्णांक घटाना: 10 – 5 = 5
- दो नकारात्मक पूर्णांक घटाना: (-3) – (-4) = 1
- एक धनात्मक पूर्णांक और एक ऋणात्मक पूर्णांक घटाना: 7 – (-3) = 10
पूर्णांकों का गुणा
पूर्णांकों का गुणा करना अपेक्षाकृत आसान है। एक ही चिन्ह वाले दो पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है, और विपरीत चिन्हों वाले दो पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
गुणन में पूर्णांकों के नियम
- समान चिह्न वाले दो पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
- विपरीत चिन्हों वाले दो पूर्णांकों का गुणनफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
उदाहरण
- दो सकारात्मक पूर्णांकों को गुणा करना: 5 x 3 = 15
- दो ऋणात्मक पूर्णांकों का गुणा: (-4) x (-3) = 12
- एक धनात्मक पूर्णांक और एक ऋणात्मक पूर्णांक को गुणा करना: (-5) x 3 = -15
पूर्णांकों का विभाजन
पूर्णांकों को विभाजित करना अन्य संक्रियाओं की तुलना में अधिक जटिल है। समान चिह्न वाले दो पूर्णांकों का भागफल धनात्मक पूर्णांक होता है और विपरीत चिह्न वाले दो पूर्णांकों का भागफल ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
डिवीजन में पूर्णांकों के नियम
- समान चिह्न वाले दो पूर्णांकों का भागफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
- विपरीत चिह्न वाले दो पूर्णांकों का भागफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
उदाहरण
- दो सकारात्मक पूर्णांकों को विभाजित करना: 15/3 = 5
- दो ऋणात्मक पूर्णांकों को विभाजित करना: (-12) / (-3) = 4
- एक धनात्मक पूर्णांक और एक ऋणात्मक पूर्णांक को विभाजित करना: (-15) / 3 = -5
पूर्णांक के गुण
प्राकृतिक संख्याओं की तरह, पूर्णांकों में भी कई महत्वपूर्ण गुण होते हैं।
चलो देखते हैं पूर्णांक के गुण
पूर्णांकों से जुड़े कई गुण हैं:
- संवृत गुण: किन्हीं दो पूर्णांकों का योग, अंतर या गुणनफल भी एक पूर्णांक होता है।
- क्रमचयी गुणधर्म: पूर्णांकों का क्रम जोड़ या गुणा के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, A + B = B + A और AB = BA
- संबंधी गुण: जिस तरह से पूर्णांकों को जोड़ या गुणा के लिए समूहीकृत किया जाता है, वह परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, (A + B) + C= A + (B + C) और (AB) C = A (BC)
- वितरण की जाने वाली गुण: गुणन योग पर बंटता है। उदाहरण के लिए, A (B + C) = AB + AC
- योज्य प्रतिलोम: प्रत्येक पूर्णांक का एक विपरीत या योज्य प्रतिलोम होता है। एक पूर्णांक और उसके योगात्मक व्युत्क्रम का योग शून्य होता है। उदाहरण के लिए, -a, a का योगात्मक व्युत्क्रम है, और a + (-a) = 0।
- गुणक व्युत्क्रम गुण: सभी पूर्णांकों का गुणनात्मक व्युत्क्रम नहीं होता है। केवल 1 या -1 के मान वाले पूर्णांकों में गुणक व्युत्क्रम होता है। उदाहरण के लिए, 5 का गुणक प्रतिलोम 1/5 या 5^-1 है, क्योंकि 5 x 1/5 = 1 है। -3 का गुणक व्युत्क्रम -1/3 या (-3)^-1 है, क्योंकि -3 एक्स -1/3 = 1।
- योग का तत्समक अवयव: किसी भी पूर्णांक और शून्य का योग ही पूर्णांक होता है। उदाहरण के लिए, A + 0 = A
अभ्यास प्रश्न
- 15 और -7 का योग कितना है?
- -8 और 3 का गुणनफल क्या है?
- -2 का योज्य प्रतिलोम क्या है?
- कौन सा गुण बताता है कि पूर्णांकों का क्रम जोड़ या गुणा के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है?
- किन पूर्णांकों का गुणनात्मक व्युत्क्रम होता है?
- पूर्णांकों के लिए तत्समक गुण क्या है?
पूर्णांक पर पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs)
पूर्णांक पूर्ण संख्याओं और उनके विपरीत का समुच्चय है। इनमें धनात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य शामिल हैं।
प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय होती हैं, जबकि पूर्णांकों में धनात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक संख्याएँ और शून्य शामिल होते हैं।
एक पूर्णांक का योगात्मक व्युत्क्रम वह संख्या है, जो मूल पूर्णांक में जोड़ने पर शून्य के योग में परिणत होती है। उदाहरण के लिए, 5 का योज्य प्रतिलोम -5 है, और -7 का योज्य प्रतिलोम 7 है।
सारांश (conclusion)
पूर्णांक सकारात्मक संख्याओं, ऋणात्मक संख्याओं और शून्य सहित पूर्ण संख्याओं और उनके विपरीत का एक समूह है। उन्हें एक संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है और उनके पास कई गुण हैं, जैसे कि बंद करना, क्रमविनिमेय, साहचर्य, वितरण, योगात्मक व्युत्क्रम, गुणक व्युत्क्रम और तत्समक अवयव। पूर्णांकों पर संचालन में जोड़, घटाव, गुणा और भाग शामिल हैं, और विशिष्ट नियम हैं जिनका पालन किया जाना चाहिए। पूर्णांकों के गुणों और संक्रियाओं को समझकर हम विभिन्न गणितीय समस्याओं और समीकरणों को हल कर सकते हैं।
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